Área máxima del triángulo inscrito en una elipse

Question

Si un triángulo está inscrito en una elipse $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ Encuentra el área máxima del triángulo

Mi intento:

Dejemos que $A(5\cos p, 4\sin p)$ , $B(5\cos q, 4\sin q)$ y $C(5\cos r, 4\sin r)$ sean vértices del triángulo

Su área es:

$$\Delta=0.5 \times\begin{vmatrix} 5\cos p &4 \sin p &1 \\ 5 \cos q& 4 \sin q &1 \\ 5 \cos r &4 \sin r & 1 \end{vmatrix}=10\begin{vmatrix} \cos p & \sin p &1 \\ \cos q & \sin q &1 \\ \cos r&\sin r & 1 \end{vmatrix}$$

$$\Delta=40\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\sin\left(\frac{q-r}{2}\right)\sin\left(\frac{r-p}{2}\right)$$

EDITAR:

De acuerdo con la alucinante pista dada por Mohammad Zuhair khan:

$p \gt q \gt r$

$$p=q+m$$

$$q=r+n$$

donde $m,n \gt 0$

Así que tenemos

$$p-q=m$$

$$q-r=n$$

$$r-p=-(m+n)$$

Entonces

$$\Delta=40 \sin\left(\frac{m}{2}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right) \sin\left(\frac{m+n}{2}\right)$$

Ignorando el signo negativo, ya que su es Área

Ahora

$$\Delta(m,n)=10(\sin m+\sin n-\sin(m+n))$$

Utilizando la diferenciación parcial para la optimización tenemos:

$$\frac{\partial \Delta}{\partial m}=0$$

$$\cos m=\cos(m+n)$$

$$m=2\pi-m-n$$

$$2m+n=2\pi$$

Como por simetría:

$$2n+m=2\pi$$

Así que

$$m=n=\frac{2\pi}{3}$$

Por lo tanto,

$$\Delta_{max}=10(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2})=15\sqrt{3}$$

Pero, ¿cómo saber si se produce una diferenciación parcial máxima?

¿Alguien puede darme un enlace de cuándo es aplicable la diferenciación parcial para problemas de optimización?

Answer 1

Si reducimos la elipse junto con un triángulo inscrito en un factor de $1/5$ a lo largo del $x$ -y por un factor de $1/4$ a lo largo del $y$ -el eje, la relación entre el área del triángulo y el área de la elipse no cambia. La elipse se transforma ahora en el círculo unitario. Basta con encontrar el mayor triángulo inscrito en el círculo unitario.

Tome una cuerda arbitraria del círculo unitario como lado del triángulo. El triángulo tiene la mayor área posible si es el punto del círculo más alejado de la cuerda, que es el punto más alejado (de la cuerda) de la intersección de la bisectriz perpendicular de la cuerda y el círculo. Esto implica que el triángulo debe ser isósceles.

Dejemos que $x$ sea la distancia de la cuerda al centro, entonces el área $A$ del triángulo es $(1+x)\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x)(1+x)^3}$ .

$\dfrac{dA^2}{dx}=3(1-x)(1+x)^2-(1+x)^3=(1+x)^2(2-4x)$ .

Es fácil comprobar que $A$ es el máximo cuando $x=1/2$ . La superficie máxima es $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ .

El área máxima del triángulo inscrito en la elipse es $\displaystyle \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\times 5\times 4=15\sqrt{3}$ .

Answer 2

Introducir nuevas coordenadas $(x',y') = (\frac{4}{5}x,y)$ para que la elipse se convierta en un círculo en estas nuevas coordenadas. Cualquier área $A$ en el sistema de coordenadas original tendrá el área $A'=\frac{4}{5}A$ en términos de las nuevas coordenadas. Por tanto, el problema se reduce a encontrar el área del triángulo más grande inscrito en un círculo y, a continuación, volver a convertir esta área en el área correspondiente en el sistema de coordenadas original.

El mayor triángulo inscrito en una circunferencia es el único triángulo equilátero que cabe, que tiene el área $A'=3\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$ , donde $r$ es el radio del círculo, y $r=4$ en este caso. Vea la prueba en la respuesta de CY Aries para saber cómo encontrar esta área.

A continuación, vuelve a convertir a las coordenadas antiguas: $A=\frac{5}{4}A'$ . El resultado es $A=15\sqrt{3}$ .