Límites localmente compactos de contables muchos finitos$T_0$ - espacios

Question

Considere la posibilidad de cualquier diagrama de finito $T_0$-espacios donde los espacios son, a la mayoría de los countably muchos. Así que tenemos $X_0, X_1, \ldots, X_n, \ldots$ cada uno de los cuales es $T_0$ y finito y algunos continua mapas entre ellos. Supongamos $L$ es el límite de ese diagrama en la categoría de $\text{Top}$.

Es $L$ localmente compacto (o incluso compacto)?

Aquí tomamos la definición de localmente compacto como definición 2.1 en nLab: cada punto tiene una vecindad de la base que consta de subespacios compactos. En otras palabras: un espacio topológico $X$ es localmente compacto si para cada a$x \in X$ y cada abierto de vecindad $U$ de $x$ hay algunas compactas de vecindad $K$ de $x$ con $K \subseteq U$.

Answer 1

Sí, $L$ siempre es compacto. Más generalmente, el límite de cualquier diagrama de finito de espacios es compacto. Para demostrar esto, en primer lugar tenga en cuenta que si todos los espacios son distintos, entonces el límite es un subconjunto cerrado del producto de todos los espacios, que es compacto por el teorema de Tychonoff. Si nuestros espacios no son discretos, se observa que la topología en su límite es más amplia que la topología en el límite del diagrama de espacios discretos con la misma establece, y por lo tanto es también compacto.

Tenga en cuenta que para los no-espacios de Hausdorff, compacidad no implica local de compacidad (véase Encontrar un ejemplo de un espacio compacto que no es localmente compacto.). Sin embargo, un límite finito de espacios es siempre también localmente compacto, ya que la base de abrir barrios están compacto (que son también los límites de los diagramas de finito de espacios, obtenido por sólo restringiendo el diagrama original para apropiarse de los subespacios de cada espacio).

Espacios topológicos que son los límites de diagramas de finito $T_0$ espacios son conocidos como espectral de espacios y tienen muchas otras propiedades especiales. En particular, son exactamente los espacios topológicos que puede ser el espectro de un anillo conmutativo.