Si $f$ tiene una primitiva, ¿también debe tener $|f|$ una primitiva?

Question

Supongamos que la función $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tiene una primitiva. Esto significa que existe alguna función diferenciable $F$ tal que $f(x) = F'(x)$ en todo $[a,b]$.

¿Debe la función valor absoluto $|f|$ tener una primitiva?

¿Qué sucede si también especificamos que $f$ es integrable de Riemann? Sé que si $f$ es integrable de Riemann, entonces $|f|$ también debe serlo, pero no todas las funciones integrables tienen una primitiva.

Answer 1

Creo que tu comprensión del término antiderivada es correcta. Una función $F:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una antiderivada de $f:[a,b] \to \mathbb{R}$, si es diferenciable y $F'(x) = f(x)$ para todos $x \in [a,b]$.

Entonces, parece que la pregunta es si $f$ tiene una antiderivada, entonces ¿es necesario que la función $x \mapsto |f(x)|$ tenga una antiderivada? Específicamente, ¿existe una función diferenciable $G:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $G'(x) = |f(x)|$ para todos $x \in [a,b]$?

La respuesta es no - no es necesario.

Un contraejemplo es

$$f(x) = \begin{cases}\cos(x^{-1}), & 0 < x \leqslant 1 \\ 0, & x= 0 \end{cases}$$

Aquí $f$ tiene una antiderivada

$$F(x) = \int_0^x \cos (t^{-1}) \, dt$$

Dado que $f$ es continua en $(0,1]$, tenemos, directamente por el FTC, que $F'(x) = \cos(x^{-1})$ para $0 < x \leqslant 1$. También podemos verificar que $F(0) = 0$ y

$$\tag{*}F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\int_0^x \cos (t^{-1}) \, dt = 0 = f(0) $$

Los detalles para derivar el límite (*) se pueden encontrar aquí.

Por otro lado, tenemos

$$g(x) = |f(x)| = \begin{cases}|\cos(x^{-1})|, & 0 < x \leqslant 1 \\ 0, & x= 0 \end{cases}$$

Supongamos que existe una antiderivada $G$ tal que $G'(x) = g(x)$ para todos $x \in [0,1]$. Dado que $g$ es integrable de Riemann (continua excepto en un extremo), se sigue del FTC que

$$G(x) - G(0) = \int_0^x g(t) \, dt$$

Por la continuidad de $g$, claramente tenemos que $G'(x) = |\cos(x^{-1}|$ para $0 < x \leqslant 1$.

Sin embargo,

$$\tag{**}G'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{G(x) - G(0)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\int_0^x |\cos (t^{-1})| \, dt = \frac{2}{\pi} \neq 0 = g(0) $$

Los detalles para derivar el límite (**) se pueden encontrar aquí en la respuesta de robjohn.

Esto demuestra que no existe tal antiderivada $G$.

Adicional

La cuestión de la integrabilidad de $f$ es periférica ya que hay funciones integrables de Riemann sin antiderivadas. Además, si tenemos

$$F(x) = \int_{[a,x]} f,$$

como una integral de Lebesgue y $F'(x) = f(x)$ casi en todas partes pero no para cada $x \in [a,b]$, entonces $F$ no califica como una antiderivada.

Answer 2

Tenga en cuenta la siguiente cita del artículo de Wikipedia sobre la integral de Henstock-Kurzweil (bajo Propiedades)

En general, toda función integrable de Henstock-Kurzweil es mensurable, y f es integrable en Lebesgue si y solo si tanto f como |f| son integrables de Henstock-Kurzweil. Esto significa que la integral de Henstock-Kurzweil puede considerarse como una "versión no absolutamente convergente de la integral de Lebesgue". También implica que la integral de Henstock-Kurzweil satisface versiones apropiadas del teorema de convergencia monótona (sin requerir que las funciones sean no negativas) y del teorema de convergencia dominada (donde la condición de dominancia se relaja a g(x) fn(x) h(x) para algunos g, h integrables).

Si F es diferenciable en todas partes (o con un número contable de excepciones), la derivada F es integrable en Henstock-Kurzweil, y su integral indefinida de Henstock-Kurzweil es F.

A partir de las oraciones destacadas (y el teorema de diferenciación de Henstock-Kurzweil), se sigue que si $f$ tiene una antiderivada, entonces $|f|$ también tendrá una antiderivada si y solo si $f$ es integrable en Lesbegue.