Como sugiere Poonen en un comentario a una respuesta de su pregunta acerca de la birationality de cualquier curva con un suave afín plano de la curva que nos haga las siguientes preguntas:
Q) ¿Es cierto que cada liso afín curva es isomorfo a un suave afín plano de la curva?
(a) En particular, dado un suave afín plano de la curva de $X$ con cualquier conjunto abierto Zariski $U$, no puede uno dar un cerrado la incorporación de la $U$ en el avión de nuevo?
(b) Un muy interesante caso especial de (Q) anterior: Supongamos $X$ es un singular plano de la curva algebraica con $X_{sm}$ el buen lugar. Se puede dar un cerrado la incorporación de la $X_{sm}$ en el avión?
Todas las variedades en cuestión son más de $\mathbb{C}$.
ACTUALIZACIÓN:
Bloch, Murthy y Szpiro ya han demostrado en su papel de"Cero ciclos y el número de generadores de un ideal" , una forma mucho más general de resultados (véase el Teorema 5.7, op.cit), que cada reducido y irreductible prjective variedad tiene una afín conjunto abierto que es una hipersuperficie. Esta se asienta la pregunta anterior birationally, en particular.
Los autores dan una muy corto y hermoso alternativo prueba de su resultado por M. V. Nori que incluyo aquí por su brevedad y para cualquier persona que no puede tener acceso al documento:
Prueba: Supongamos $X$ es una integral proyectiva variedad de dimensión $d$. Por un genérico de proyección, reducir fácilmente para el caso de un (posiblemente singular) integral hipersuperficie $X$$\mathbb{A}^{d+1}$. Supongamos que las coordenadas del anillo de $X$ $A=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}]$ y su definición de la ecuación es$F=\Sigma_0^m{f_i}x_{d+1}^{i}=0$$f_0\neq{0}$. Para algunos el elemento $h$ $J\cap\mathbb{C}[x_1,\dots,x_d]$ donde $J$ define el singular locus de $X$, puesto $x_{d+1}'=x_{d+1}/(hf_0^2)$ $F=0$ a observar que $1/(hf_0)\in\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}']$$A_{hf_0}=\mathbb{C}[x_1,\dots,x_{d+1}']$. Claramente $\rm{Spec}\ {A_{hf_0}}$ admite un cerrado de inmersión en $\mathbb{A}^{d+1}$.
Sin embargo, los autores anteriores también demostrar en su Teorema 5.8 que existen afín variedades de cualquier dimensión, que no son hypersurfaces. Esto responde a nuestra pregunta en negativo. Este también fue conocido por Sathaye para las curvas, vea En el plano de las curvas. Él le da un buen ejemplo de una doble cubierta de un pinchazo en un curva elíptica, ramificado en 9 puntos y también en el punto en el infinito. Esta curva no puede ser embebido en $\mathbb{A}^2$. Sathaye utiliza el valor semigroup en el único punto en el infinito para probar esto. Su ejemplo ha trivial canónica divisor. Por lo que las respuestas Poonen la pregunta en los comentarios de abajo, de forma negativa.
En resumen, $K=0$ para una afín a la curva es necesaria pero no suficiente para que la curva se planas, sin embargo, uno debe tener en cuenta que el $K=0$ es necesario y suficiente para una afín a la curva completa de intersección.
