Hacer una Delta de Dirac expresión rigurosa (teoría de la medida)

Question

He estado tratando de hacer una expresión en términos de una `función Delta de Dirac" riguroso, pero he fracasado miserablemente. Por favor, ayudar, si se puede. Las referencias son bienvenidos.

La motivación para esto viene de cálculo de densidades $\rho$ en una medida de espacio $M$, si uno se da `muestras' $\alpha(\omega)$ indexados por $\omega$ en otra forma de medir el espacio $\Omega$. Esto tiene aplicaciones en la física estadística, así que tal vez la gente ha hecho ya.

Para empezar, si $\left(\Omega, \mathcal A \right)$ es un espacio medible y $\omega \in \Omega$, entonces la medida de Dirac es $$ \delta_\omega \colon \, \mathcal Un \mapsto \mathbb R \, , \quad \a \delta_\omega\left (\right) := \begin{cases} 1 \, , \, \omega \in A \\ 0 \, , \,\omega \notin A \end{casos} \, . $$ Yo creo que el problema en cuestión requiere este concepto, y no la de Dirac de distribución.

Ahora vamos a $(M,\mathcal A, \mu)$, $(\Omega,\mathcal B, \nu)$ ser $\sigma$-finito medir los espacios, y vamos a $\alpha \colon \Omega \to \mathcal M$ ser una función medible. Entonces quiero que por cualquier $\theta \in M$ y cualquier secuencia de conjuntos medibles $\left(N_n (\theta)\right)_{n \in \mathbb N}$ contiene $\theta$, habiendo finito medida y con $$\lim_{n \to \infty} \mu \left(N_n (\theta)\right) = 0$$ que $$\theta \mapsto \rho \left( \theta \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\nu \left( \alpha^{-1} \left(N_n (\theta)\right)\right)}{\mu \left(N_n (\theta)\right)}$$ es bien definidos y medibles.

Aquí es donde la medida de Dirac: estoy bastante seguro de que para el otro (arbitrario?) secuencia $\left( A_n \right)_{n \in \mathbb N}$ de medibles pone en $\Omega$ finitos medida y con
$$\lim_{n \to \infty} \nu \left( A_n^C \cap \Omega \right) = 0$$ (es decir, ` $A_n$ converge a $\Omega$ en la medida') que $$\rho \left( \theta\right) \desbordado{!}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{\int_{A_n} d \nu \negthinspace \left( \omega\right) \, \, \delta\left( \theta \alpha_{\omega}\right)}{\nu \left( A_n\right)}$$

El problema es que 1) para convertir esto en un matemáticamente sensible de la expresión en términos de la medida de Dirac, y 2) para mostrar la igualdad con la de arriba. Tenga en cuenta que ni $M$ ni $\Omega$ puede ser asumida como finito medir los espacios.

EDIT: Bien, permítanme aclarar un poco las cosas.

1) La descripción anterior es una formalización del siguiente problema: Supongamos que decidí poner un incontable número de puntos en $M= \mathbb{R}^n$, pero me decidí a la etiqueta en un lugar inconveniente manera. Así, para cada etiqueta $\omega \in \Omega$ tengo un punto de $\alpha_\omega \in M$. Ahora el problema es que, dicen, de repente no me importan las etiquetas, sino que quiero saber cómo se distribuyen los puntos en el espacio con respecto a algunas de medir el volumen (por ejemplo, la medida de Lebesgue $\mu$). Es decir, quiero una densidad. Así que quiero integrar mi espacio de la etiqueta (cada etiqueta tiene el mismo peso, así que tengo una medida $\nu$ ) y sólo el recuento de los puntos en los cuales yo soy la evaluación de la densidad. Las expresiones anteriores son lo que se me ocurrió.

2) La última ecuación es puramente simbólico. El punto es para "contar" sólo aquellos puntos en $\Omega$ para que $\theta = \alpha_\omega$. Así que no es realmente útil para tener en cuenta como la delta de Dirac de una función. La secuencia de conjuntos es sólo allí, porque el $\nu(\Omega)$ puede ser infinito.

3) Sí, el primer "definición" es probablemente problemática. Por ejemplo, ¿qué pasa si todos los $\alpha_\omega$ son iguales? Queremos posiblemente singular medir... Casi en todas partes, la existencia es perfecta. Radon-Nikodym sólo funciona para $\Omega = M$, que es demasiado restrictivo.

Answer 1

Yo creo que el siguiente responde a su pregunta, aunque puede no ser evidente de inmediato para usted.

Deje $(\Omega,\mathcal{B},\nu)$ e $(M,\mathcal{A},\mu)$ ser medida de los espacios (vamos a decir $\Omega$ es en realidad un espacio de probabilidad) y deje $\alpha:\Omega\rightarrow M$ ser una función medible. Podemos definir una nueva medida de probabilidad en $M$, llama la ley o la distribución de $\alpha$, como sigue: la medida de cualquier conjunto $A\in\mathcal{A}$ es ahora definida como la probabilidad (de acuerdo a $\nu$) que $\alpha(\omega)\in A$, en otras palabras $$ \mathbb{P} (A) := \nu(\{\omega \in \Omega \vert \alpha(\omega) \in A\}).$$ This is well defined precisely because we assumed that $\alfa$ is measurable. Another way of writing this is to say that $\mathbb{P}(A) := \nu( \alpha^{-1} (A))$; yet another way of writing the same thing is $\mathbb{P} := \nu \circ \alpha^{-1}$. Another name for this measure is the pushforward of $\nu$ onto M with respect to $\alpha$, o simplemente el pushforward a ser corto. (Estoy diciendo todo esto porque la probabilidad de la literatura utiliza todos los de este indistintamente, de modo que usted puede saber que antes de tiempo.)

Ahora, permítanme intentar convencerle de que la ley de $\alpha$ es lo que realmente quiere, en lugar de algo para hacer con deltas de Dirac.

En primer lugar, usted dice que su motivación es que se quiere "colocar una cantidad no numerable de puntos" $M$ según $\alpha$. Bien, supongamos que, debido a la precisión de medición, en realidad no podemos comprobar "cómo muchos" de estos puntos de la tierra en un $\theta\in M$ - más bien, tenemos que buscar en una región del espacio $A$ que tiene medida finita, y ver qué es la "fracción" de los puntos que han terminado en $A$. Pero esto es, precisamente, $\nu(\{\omega \in \Omega \vert \alpha(\omega) \in A\})$.

Más matemáticamente, es bueno desarrollar la perspectiva, en la probabilidad de que, de no pensar en un "totalmente " pointwise" de la moda todo el tiempo. Para uno, un montón de cosas no se definen pointwise pero pointwise casi seguro, así que tratando de establecer "cómo muchos puntos de la tierra en un determinado punto" no es probable que estar bien definidos. Sin embargo, hay un caso especial en el que la especificación de una función de "arriba a medida cero" en realidad le da un único pointwise función, es decir, si se asume que la función tiene que ser continua. Asimismo, hay una continuidad en el supuesto de que permite pensar en la ley de $\alpha$ como pointwise función en lugar de una medida, es decir, la suposición de que la ley de $\alpha$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$, la medida subyacente en $M$ - en este caso, se puede expresar la ley de $\alpha$ en términos de una función de distribución, así: $\mathbb{P}(A)= \int_A \rho(\theta) d\mu(\theta)$, para algunos medibles función de $\rho$. Sin embargo, es enfático no es siempre el caso de que la ley de $\alpha$ es absolutamente continua, incluso en la física realista. Tratando de pensar en la ley de $\alpha$ el murciélago en términos de una función de distribución como $\rho$ es de hornear en una extraña suposición a su problema, como suponiendo que por ninguna razón en particular que la trayectoria de una partícula es diferenciable.

Ahora, lo que la noción de "distribución" (en el sentido de: Schwartz distribución, distribución delta de Dirac) está haciendo se relaja nuestra noción de función, con lo que nos puede pensar que la ley de $\alpha$ en términos de alguna de esas $\rho$, si es que realmente insistir. Incluso en este caso, sin embargo, es no siempre el caso de que un Schwartz distribución puede ser pensado como un "innumerable suma de los deltas de los ríos", como usted parece estar tratando de hacer. Por lo tanto, lo que realmente es la mejor práctica para el tratamiento de la ley de $\alpha$ como el "primitivo" objeto de estudio para su tipo de problema.

Espero que le ayude.

Addendum: ahora, usted puede preguntar, ¿cómo calcular la ley de $\alpha$ en una manera razonable? La respuesta es que para algunas funciones medibles, usted no puede, pero la función de distribución de $\rho$ perspectiva también sufre de este problema. En realidad, lo que hacemos es muestra de $\alpha$ a un (gran) número finito de veces, y la esperanza de que este procedimiento le permitirá aproximarse a la ley de $\alpha$ si usted muestra los puntos suficientes (y no está muy mala suerte). Hay algunos resultados generales de las estadísticas relativas al/si esto realmente funciona; las palabras clave que usted debe buscar es que la muestra le da un empírica medida que converge en distribución a la ley de $\alpha$.