La geometría de prueba de un común centroide.

Question

Triángulo PQR es dibujado. A través de sus vértices son líneas dibujadas que se paralelas a los lados opuestos del triángulo. El nuevo triángulo formado es el ABC. Demostrar que estos dos triángulos tienen en común un centroide.

Empecé por dejar a $M$ ser la mediana de $[PQ]$, y luego demostrar que la bisectriz de $[BC]$ de $A$ se produce en $R$ mientras $M$ es colineal a $[AP]$. En primer lugar, no estoy seguro de si es o no será suficiente para demostrar que comparten un mismo centro de gravedad, y en segundo lugar no estoy seguro de por dónde empezar con la prueba como la creación de semejanza de triángulos a partir de las líneas paralelas de la identidad ha llevado a nada.

Answer 1

$PQCR$ e $PQRB$ son paralelogramos por la construcción, por lo tanto: $PQ=BR=RC$ e $R$ es el punto medio de la $BC$.

$PRQA$ es por la construcción de un paralelogramo, por lo tanto sus diagonales $PQ$ e $AR$ cumplir en su punto medio común $M$.

De ello se desprende que la mediana $AR$ de triángulo $ABC$ se encuentra en la misma línea que la mediana $RM$ de triángulo $PQR$. El mismo razonamiento vale para el otro medianas de los triángulos.

Por lo tanto las medianas del triángulo $ABC$ encuentro en el mismo punto que las medianas del triángulo $PQR$.

Answer 2

Solución con los vectores. El centroide $G$ de $ABC$ es $G = {1\over 3}(A+B+C)$

Desde $R$ es un punto medio de $BC$ hemos $$R = {1\over 2}(B+C)$$ and similar for $P$ and $P$. Now the centroid $G'$ of $PRQ$ is $$G' = {1\over 3}(P+Q+R) = {1\over 3}\Big({1\over 2}(B+C)+{1\over 2}(A+C)+ {1\over 2}(B+A)\Big) $$$$= {1\over 3}(A+B+C) = G$$

Answer 3

Alternativamente, usted puede usar esta muy bien conocida propiedad (mirar al final de la respuesta vinculadas).

Lema 1

En cualquier triángulo $\triangle ABC$, las medianas $AM_a, BM_b, CM_c$ de acuerdo en el centroide $S$ tal que $$\frac{AS}{SM_a}=\frac{BS}{SM_b}=\frac{CS}{SM_c}=2$$

Observe ahora que - de vuelta a tu imagen - $APRQ$ es un paralelogramo y, por tanto, $M$ es el punto medio de la $PQ$. Por lo tanto $S_{\triangle PQR}\in MR$ satisface $$\fbox{$S_{\triángulo PQR}R=\frac23 RM=\frac 13 AR=S_{\triángulo ABC}R\implica S_{\triángulo PQR}=S_{\triángulo ABC}$}$$

Answer 4

Observe que $\angle CQR=\angle QRP=\angle CAB$. Con un mismo argumento, debe ser fácil para usted para derivar que $AQPR$ es un parallellogram. Del mismo modo, se puede demostrar que los $BLQR, QPRC$ son parallellograms. Por lo $BR=PQ=CR \implies R$ es el punto medio de la $BC$. Del mismo modo, $Q,P$ son los respectivos puntos medios. Y ahora, por simetría, se puede tomar media vuelta del triángulo $PQR$, y ampliar cada uno de sus lados por un factor de escala de la $2$ con respecto al centro de gravedad de $\Delta PQR$, y ahora este triángulo completamente coinciden con $ABC$, de hecho, lo que implica que comparte su centroide con el otro triángulo.

Answer 5

Aquí es otro método. Deje $h$ ser el homothecy de la relación de $-\frac12$ centrado en $G$ centroide de $\triangle ABC$. A continuación, $h(A)=R$, $h(B)=Q$ e $h(C)=P$ lo $h(\triangle ABC)=\triangle PQR$. Desde $h(G)=G$ estos dos triángulo tienen la misma centroide.