La identidad de Polinomios en positivo charcteristic

Question

En positivo charcteristic $p$, sabemos que para cada elemento de campo $x\in\mathbb{F}_{p}$ obtenemos $x^p = x$.

Entonces yo creo (y puedo estar equivocado, pero no veo cómo) monomials de la forma $t^{p^i}\in\mathbb{F}_p[t]$ arbitrarias $i\in \mathbb{N}$ son todos el mismo, dado que las funciones $p_0(t)=t$, $p_1(t)=t^p$, $p_2(t)=t^{p^2}$ son en realidad las mismas funciones. No? Me refiero a que sin duda son iguales en todos los elementos, que es

$$p_i(x)= p_j(x)$$ for all $x\in\mathbb{F}_p$ and $i,j\in\mathbb{N}_0$. Pero en los libros de texto en función finita de campo y tal, son tratadas como si fueran diferentes. Pero esto parece contradecir a la (poinwise) definición de una función en términos de la evaluación sobre los elementos.

Así que sería genial para obtener alguna aclaración aquí.

Answer 1

De hecho hay dos diferentes nociones de un polinomio sobre un campo $K$: el primero es el de las expresiones formales de la forma $\sum_{i=0}^k a_iX^i$ donde $a_i \in K$, y el segundo es el de las funciones de $f : K \to K$ donde exista $a_i \in K$ tal que para todos los $x \in K$ hemos $$ f(x) = \sum_{i = 0}^k a_ix^k. $$ Si escribimos $K[X]$ para las expresiones formales, y $\mathrm{Pol}(K)$ para las funciones, entonces hay una asignación $K[X] \to \mathrm{Pol}(K)$ dado por la interpretación de la expresión formal como una función. De hecho, es un homomorphism cuyo núcleo es, precisamente, esas expresiones polinómicas que evaluar como el cero de la función.

Tenga en cuenta que si $K$ es infinito, entonces la asignación de $K[X] \to \mathrm{Pol}(K)$ es un bijection, y tendemos a identificar a los dos conjuntos, sin demasiada preocupación.

Cuando $K$ es finito, la identificación de los conjuntos tiene poco sentido: el conjunto de $\mathrm{Pol}(K)$ es un conjunto finito, de hecho el conjunto de todas las funciones de $K \to K$ -- que no captura la estructura nos parece interesante acerca de los polinomios de más de $K$. Para un ejemplo concreto, $\mathrm{Pol}(\mathbb F_2)$ sólo tiene cuatro elementos, y pueden ser escritas (como expresiones polinómicas) como $0, 1, X, X - 1$. No existen polinomios de grado, al menos, $2$ a cualquier forma de dividir los campos!