La siguiente apareció en la inducción de paso de la prueba de 'Cada elemento de a$O(n)$ es producto de hyperplane reflexiones'.
Un elemento $A$ en $O(n)$ se llama hyperplane reflexión si $$A=Pdiag(1,\cdots , 1,-1)P^T$$
donde $P\in O(n)$.
Si $$A'=P \begin{bmatrix}
A_{n-1} & \\
& \pm 1
\end{bmatrix} P^T
$$
y $A_{n-1}$ es de $O(n-1)$ entonces $A'$ es producto de hyperplane reflexiones en $O(n)$. ¿Por qué es esto cierto?
Todo lo que sabemos es $A_{n-1}$ es producto de hyperplane reflexiones. ¿Cómo es que esto dé resultado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que este es el lema que usted necesita:
Lema: Supongamos $B$ tiene el bloque diagonal de la forma $diag(A,\pm 1)$, donde $A\in O(n-1)$ es un hyperplane reflexión. A continuación, $B$ es un producto de más de 2 hyperplane reflexiones.
Prueba: en primer lugar, tratar el caso cuando se $B = diag(A,1)$. Escribir $A = P \, diag(1,1..,1,-1)\, P^t$, donde todas estas matrices están en $O(n-1)$.
Considerar la homomorphism $\hat{}:O(n-1)\rightarrow O(n)$ con $\hat{C}$ el bloque diagonal de la matriz $diag(C,1)$.
A continuación, $B = \hat{A} = \hat{P}\,diag(1,....,1,-1,1)\, \hat{P}^t$. Esto es casi un hyperplane reflexión. El problema es que ese $-1$ aparece en el mal de la ranura. Así que, vamos a solucionarlo.
Deje $Q\in O(n)$ obtenerse a partir de la $n\times n$ matriz identidad mediante el intercambio de las dos últimas filas. A continuación, $diag(1,...,1,-1,1) =Q\, diag(1,....,1,-1)\, Q^t$. Sustituyendo esto en nuestra fórmula para $B$ anterior, obtenemos $B = \hat{A} = \hat{P}Q\,diag(1,...,1,-1),^t \hat{P}^t = (\hat{P}Q)diag(1,...,1,-1) (\hat{P}Q)^t.$
Desde $\hat{P},Q\in O(n)$, se deduce que el $\hat{P}Q\in O(n)$, lo $B$ es un hyperplane la reflexión en este caso.
Ahora, podemos suponer que $B = diag(A,-1) = diag(A,1)diag(1,...,1,-1)$, donde, como en el anterior, $A = P\,diag(1,...,1,-1)\,P^t$. Desde el primer caso, $B$ es de la forma $C\,diag(1,...,1-1)$ donde $C$ es un hyperplane reflexión. Desde $diag(1,...,1,-1)$ es, obviamente, un hyperplane reflexión, $B$ es un producto de hyperplane reflexiones en este caso.
