Mostrar que $a^3 - b^3 = c! - 18$ no tiene solución

Question

Deje $a, b,$ e $c$ ser enteros positivos y $c \gt 6$.

Demostrar que la ecuación $$a^3 - b^3 = c! - 18$$ does not have a solution for all positive integers $a, b,$ and $c$.

Lo que me he dado cuenta hasta ahora es que si $a^3 - b^3 = c! - 18$, entonces también debe ser cierto que $a^3 -b^3 \equiv c! - 18 \pmod n$ para todos los $n \geq 2$.

Eso significaría que si puedo demostrar que no existe un $n$ , de modo que $$a^3 - b^3 \not\equiv c! - 18 \pmod n$$ for all relevant $a, b,$ and $c$ then I have also shown that $$a^3 - b^3 \neq c! - 18$$ for all relevant $a,b,$ and $c$.

El único problema que tengo ahora es que no sé cómo encontrar un adecuado $n$

Answer 1

Usted puede probar su suerte con $\bmod 7$. Usted debe saber, o demostrar fácilmente, que todos los cubos se $\in\{0,1,6\}\bmod 7$ obligando a $a^3-b^3\in\{0,1,2,5,6\}$. Pero para $c\ge 7$ encontrará $c!-18$ no cumplen con este requisito (voy a dejar que usted se figura que fuera). Esto no trabajan generalmente para $c<7$, pero que fue excluido de la declaración del problema ("$c>6$").

Answer 2

Considere la posibilidad de modulo $3$. Cuando $c$ es lo suficientemente grande, arbitrariamente grandes (en particular, $>2$) que los poderes de $3$ brecha $c$. Supongamos $c$ es lo suficientemente grande, en este sentido, y supongamos $a,b$ existía, de modo que la ecuación se satisface. El lado derecho es $0$ modulo $3$, por lo que tenemos $a^3=b^3$ mod $3$, que se puede comprobar fácilmente implica $a=b$ mod $3$. Si $a=b=0$ mod $3$, entonces el LHS es divisible por $27$, pero el lado derecho es (ya $3\mid c!/9$ pero $3\nmid 2$). Supongamos $a=b=1$ mod $3$, a continuación, establezca $a=3n+1$, $b=3m+1$. Por lo $a^3-b^3=27(n^3+n^2-m^3-m^2)+9(n-m)=0$ mod $9$. De nuevo, tenemos una contradicción con el hecho de que la CARTA no es divisible por $9$. Simlarly, a continuación, $a=3n-1$ e $b=3m-1$, tenemos $a^3-b^3=(3n-1)^3-(3m-1)^3=27(n^3-n^2-m^3+m^2)+9(n-m)=0$ mod $9$, y la conclusión de la siguiente manera.

Answer 3

Sugerencia: El distinto de cero residuos modulo de un primer número $p$ formar un grupo (w.r.t. multiplicación) de la orden $p-1$. Por lo tanto el cero cubos de conformar un subgrupo si $3\mid p-1$. Esperemos que esto conduce a una contradicción para algunos (pequeños) prime $p$...