Goursat del Lexema es en varios grupos de la teoría de los libros de texto, pero no siempre por su nombre.
Aparece en la Jefa de Sala del clásico de La Teoría de Grupos. En el AMS Chelsea Publicaciones edición, es el Teorema 5.5.1 en las páginas 63-64, y se produce en el índice bajo "subdirect producto". Aparece en W. R. Scott clásico de la Teoría de Grupo en la Sección 4.3, "Subdirect Productos", como la declaración de la etiqueta 4.3.1 (pp 71, Prentice Hall, 1964 impresión). Se muestra en Hungerford del Álgebra, pero en la sección de los Anillos, discutiendo subdirect irreductibilidad, y por lo general hay una sana discusión del concepto en los libros de Álgebra Universal cuando se habla de subdirect representaciones; por ejemplo, Gratzer del Álgebra Universal.
Goursat del Lema no es un caso especial de un teorema más general que describe los subgrupos de un producto directo: es el teorema general que describe los subgrupos de un producto directo. Puede que no parezca a primera vista, pero lo que realmente es.
Para ser explícitos, aquí es Goursat el Lema:
Goursat del Lexema. Deje $G$ e $H$ grupos, y deje $K$ ser un subdirect producto de $G$ e $H$; es decir, $K\leq G\times H$, e $\pi_G(K)=G$, $\pi_H(K)=H$, donde $\pi_G$ e $\pi_K$ son las proyecciones en el primer y segundo factor, respectivamente, de $G\times H$. Deje $N_2=K\cap\mathrm{ker}(\pi_G)$ e $N_1=K\cap\mathrm{ker}(\pi_H)$. A continuación, $N_2$ puede ser identificado con un subgrupo normal $N_G$ de $G$, $N_1$ puede ser identificado con un subgrupo normal $N_H$ de $H$, y la imagen de $K$ en $G/N_G\times H/N_H$ es el gráfico de un isomorfismo $G/N_G \cong H/N_H$.
Otra forma de pensar acerca de Goursat del Lexema es que vamos a empezar con un cociente $G/N$ de $G$, y un coeficiente de $H/M$ de $H$. Si $\varphi\colon G/N\to H/M$ es un isomorfismo, entonces $\varphi$ induce un subgrupo de $G\times H$, por
$$ K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid \varphi(gN) = hM\}.$$
No es difícil comprobar que $K_{\varphi}$ es un subdirect producto de $G\times H$, y Goursat del Lexema es la declaración de que todos los subdirect producto de $G\times H$ surge de esta manera:
Goursat del Lema (reformulación). Deje $G$ e $H$ grupos, vamos a $N\triangleleft G$, $M\triangleleft H$, y deje $\varphi\colon G/N\to H/M$ ser un isomorfismo. A continuación, $\varphi$ da lugar a un subgrupo
$$ K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid \varphi(gN) = hM\}$$
con $\pi_G(K_{\varphi}) = G$ e $\pi_H(K_{\varphi}) = H$. Por otra parte, cada subdirect producto de $G\times H$ (todos los $K\leq G\times H$ con $\pi_G(K)=G$ e $\pi_H(K)=H$) surge de esta manera.
Ahora vamos a $K$ ser arbitraria subgrupo de $G\times H$, no necesariamente un subdirect producto. ¿Qué podemos decir acerca de $K$? Así, podemos aplicar Goursat del Lema, pero no a $G\times H$sino $\pi_G(K)\times\pi_H(K)$. Es decir, cualquier subgrupo de $G\times H$ es un subdirect producto de un subgrupo de $G\times H$ que es de la forma $G_1\times H_1$, $G_1\leq G$ e $H_1\leq H$. Y así podemos aplicar Goursat del Lema a $K\leq G_1\times H_1$.
Así Goursat del Lema de los rendimientos de los siguientes:
Goursat del Lema para arbitrario sugroups de un producto directo. Cada uno de los grupos $G$ e $H$si $G_1\leq G$, $H_1\leq H$, $N\triangleleft G_1$, $M\triangleleft H_1$, e $\varphi\colon G_1/N \to H_1/M$ es un isomorfismo, entonces $\varphi$ da lugar a un subgrupo de $G\times H$, "la gráfica de $\varphi$", por
$$ K_{\varphi} = \{ (g,h)\in G\times H\mid g\in G_1, h\in H_1, \varphi(gN)=hM\}.$$
Por otra parte, cada subgrupo de $G\times H$ surge de esta manera.
