¿Qué sentido asignar Riemann a $dx$?

Question

Detlef Laugwitz escribió una monumental biografía de Riemann. El libro fue traducido al inglés por Shenitzer. Laugwitz discute Riemann fundamentales de ensayo

Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (En la Hipótesis de que se encuentran en los Fundamentos de la Geometría)

de 1854 sobre los cimientos de lo que se ha convertido en la geometría de Riemann. Laugwitz escribe: "En la conferencia de Riemann llevado al extremo su tendencia a utilizar como pocas fórmulas como sea posible." Por desgracia Laugwitz no elaborados, pero la única fórmula contenida en Riemann del ensayo es la fórmula $$\frac{1}{ 1+\frac{\alpha}{ 4}\sum x^2}\sqrt{\sum dx^2}$$ expressing the length element of a metric of constant (sectional) curvature $\alfa$.

Lo que es desconcertante aquí es Riemann, de la notación. Este es, por supuesto, antes de dual espacios y tensor de cálculo. Cuál es el significado que hizo Riemann adjuntar a $dx$? Es difícil decir que fue infinitesimal porque Riemann es conocido por dar un tratamiento riguroso para el, así, la integral de Riemann.

Ahora veo que también hay un libro por Monastyrsky de Riemann, la topología y física que podría ser relevante.

¿Alguien tiene referencia de que iba a comentar sobre esto?

Nota 1. Spivak de la geometría Diferencial, tercera edición, volumen 2, capítulo 4 contiene una traducción al inglés de Riemann del ensayo. Aquí en la página 155 de Riemann habla de la línea como hecho de la $dx$, se describen $dx$ "los incrementos", y habla de desplazamientos infinitesimales. En la página 156 habla de las infinitamente pequeñas cantidades $x_1dx_2-x_2dx_1$, etc., así como de los infinitamente pequeños triángulos.

Answer 1

Tenga en cuenta que el ensayo de Riemann era originalmente una "Conferencia de habilitación", dirigida a un público académico. Por lo tanto Riemann tendieron evitar demasiada maquinaria técnica. En la fórmula a mano solo escribe $\sqrt{\sum dx^2}$, pero en otros lugares en esta Conferencia habla sobre el $dx_i$ y sobre el hecho de que la forma fundamental tiene ${n(n+1)\over2}$ condiciones, etc.. Por lo tanto es obvio que Riemann tenía la interpretación $$\sum dx^2:=\sum_{i=1}^n dx_i^2\>, \quad{\rm resp.}\quad ds=\sqrt{\sum_{i=1}^n dx_i^2}\ ,$ $ en mente, que cuando computación longitudes de curvas desempaqueta a $$L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{\dot x_1^2(t)+\dot x_2^2(t)+\ldots+\dot x_n^2(t)}\>dt\ .$ $

Answer 2

Para Riemann dx fue un nilsquare infinitesimal, es decir, la mayoría de los convencionales (si controversial) tipo de infinitesimal. "El principio de la obtención de conocimiento del mundo externo a partir del comportamiento de sus partes infinitesimales es el resorte principal de la teoría del conocimiento en la infinitesimal física como en la geometría de Riemann, y, de hecho, la fuente de toda la eminente obra de Riemann.' Hermann Weyl, 1950 (citado en El Continuo y el Infinitesimal, Juan L Bell). Weyl la cita, sin embargo, debería ser calificado: la hipótesis de Riemann es parte de la teoría de los números y por lo tanto, presumiblemente no depende de infinitesimals.