Demostrar que, para todos los enteros positivos $n, m$ , si $n ≥ m + 2$ entonces $n^2 − m^2$ no es un número primo.
Por el amor de Dios, sospecho que esto es muy fácil de demostrar, pero no veo cómo... ¿alguna pista?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Yoshi
Puntos
1023
Evan Trimboli
Puntos
15857
Si no se le ocurre ninguna idea inteligente, pruebe a introducir algunos valores específicos y vea adónde le llevan.
Por ejemplo, fijar $m = 3$ . Entonces nuestro menos $n$ es 5, pero entonces claramente $n^2 - m^2$ será par (de hecho tenemos 16). $n = 6$ tampoco lo hará porque $n^2 - m^2$ será un múltiplo de 3 (es decir, 27). Con $n = 7$ tenemos el mismo problema de $n^2 - m^2$ siendo par (40, esta vez).
Quizás $n = 8$ nos dará una prima... no, tenemos 55. ¿Notas algo especial en la secuencia 16, 27, 40, 55? Parece que cada uno de estos números es divisible por la diferencia entre $m$ y $n$ .
Así que tarde o temprano te habrás dado cuenta de que $n^2 - m^2$ debe ser divisible por $n - m$ . Y si es más de 1, entonces $n^2 - m^2$ no puede ser primordial.
David R.
Puntos
307
Yo haría una tabla, a ver si a lo mejor me salta la respuesta.
$$\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 1 & 0 & 3 & 8 & 15 & 24 & 35 & 48 \\ 2 & -3 & 0 & 5 & 12 & 21 & 32 & 43 \\ 3 & -8 & -5 & 0 & 7 & 16 & 27 & 40 \\ 4 & -15 & -12 & -7 & 0 & 9 & 20 & 33 \\ 5 & -24 & -21 & -16 & -9 & 0 & 11 & 24 \\ 6 & -35 & -32 & -27 & -20 & -11 & 0 & 13 \\ 7 & -48 & -43 & -40 & -33 & -24 & -13 & 0 \\ \end{array}$$
En realidad, sólo te importa menos de la mitad de estos. Pero como la tabla es simétrica, voy a dejar en blanco sólo los ceros y los primos:
$$\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 1 & & & 8 & 15 & 24 & 35 & 48 \\ 2 & & & & 12 & 21 & 32 & 43 \\ 3 & -8 & & & & 16 & 27 & 40 \\ 4 & -15 & -12 & & & 9 & 20 & 33 \\ 5 & -24 & -21 & -16 & -9 & & & 24 \\ 6 & -35 & -32 & -27 & -20 & & & \\ 7 & -48 & -43 & -40 & -33 & -24 & & \\ \end{array}$$
Probablemente en este momento recordaría $(m - n)(m + n)$ .
