Cómo se descompone un grupo de representación, que es una suma directa de copias de una representación irreducible?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. Deje $F$ ser un campo de característica cero. Deje $V$ e $W$ ser finito representaciones tridimensionales de $G$. Suponga que $V$ es irreductible e $W$ es isomorfo a $nV$ para algunos $n$ (esto es la suma directa externa de $n$ copias de $V$).

Estoy buscando un procedimiento para encontrar los elementos de $w_1,\dotsc,w_n\in W$ tal que $w_i$ genera un subrepresentation $V_i$ de $W$ que es isomorfo a $V$, y tales que la suma directa interna de la $V_i$ es $W$.

Ni siquiera estoy seguro de cómo acaba de encontrar $w_1\in W$ que genera un subrepresentation isomorfo a $V$.

EDIT: El aceptado la respuesta nos dice qué hacer si $F=\mathbb{C}$. Lo que si $F=\mathbb{R}$?. Podemos usar la extensión de escalares?

Answer 1

Vamos a intentarlo de nuevo!

Deje $I$ ser las dos caras ideal de $\mathbb{C}G$ correspondiente a la representación de la $V$. Entonces:

1) $I$ contiene un elemento que actúa como la identidad en $V$, y

2) $I$ es isomorfo como a la izquierda $\mathbb{C}G$-módulo de a $mV$, donde $m=\dim(V)$. Escribir $I=V_1\oplus V_2\oplus\dots \oplus V_m$ para algunos explícita submódulos $V_1,\dots,V_m$ de $\mathbb{C}G$.

Ahora, arreglar $w \in W$. Por 1), $I$ actos trivial en $w$: es decir, el lapso de $Iw$ es distinto de cero. 2), entonces hay algunas $V_i$ que actúa trivial en $w$. Pero $V_iw$ es un trivial de la imagen de la irreductible $V_i$. Así es isomorfo a $V$ por Schur del lexema. Esto le da el primer factor; introducir a través del teorema de Maschke.