$[\frac{x}{2}] + [\frac{x}{3}] = \frac{5x}{6}$

Question

Pregunta: Si $[\frac{x}{2}] + [\frac{x}{3}] = \frac{5x}{6}$, a continuación, $x$ es cualquiera de los siguientes:
(a) $3,6,9,12,...$
(b) $9,18,27,36,...$
(c) $6,12,18,24,...$
(d) $\frac{6}{5},\frac{12}{5},\frac{18}{5},...$
[.] representa el mayor entero de la función...

La solución es (c)

Mi Intento:

$$\frac{5x}{6} \in \mathbb{Z} \implies x=\frac{6n}{5}, n\in \mathbb{Z}$$ Sustituyendo este valor de x, $$[\frac{3n}{5}]+[\frac{2n}{5}] = n$$ $$\implies \frac{3n}{5} - \{\frac{3n}{5}\} + \frac{2n}{5} - \{\frac{2n}{5}\} =n$$ $$\implies \{\frac{3n}{5}\}+\{\frac{2n}{5}\}=0$$ $\{.\}$ representa la parte fraccionaria de la función.

A partir de aquí, no sé cómo continuar. Por favor, ayudar. Gracias!

Answer 1

Dado que las fracciones son no negativos, si dos de ellas se suma a $0$ son cada uno de $0$. Esto nos dice $2n/5,\,3n/5$ son enteros, como es su diferencia $n/5$. Esta condición es claramente suficiente así como todo lo necesario. Pero $5|n\iff 6|x$, lo que confirma (c).