Demostrar que si $\sum{a_n}$ converge absolutamente, entonces $\sum{a_n^2}$ converge absolutamente

Question

Estoy tratando de reaprender las matemáticas de mi licenciatura, y estoy usando el libro de Stephen Abbot Comprender el análisis . En la sección 2.7, tiene el siguiente ejercicio:

Ejercicio 2.7.5 (a) Demuestre que si $\sum{a_n}$ converge absolutamente, entonces $\sum{a_n^2}$ también converge absolutamente. ¿Se mantiene esta proposición sin la convergencia absoluta?

Lo planteo aquí porque mi respuesta a la última pregunta sobre si la proposición es válida sin convergencia absoluta es "Sí", pero mis sospechas surgen por el mero hecho de plantear la pregunta. Normalmente se hacen preguntas de este tipo para señalar que ciertas condiciones son necesarias en el enunciado de proposiciones, teoremas, etc. Sólo quiero ver si me estoy perdiendo algo aquí.

De todos modos, así es como demuestro la convergencia absoluta de $\sum{a_n^2}$ y nótese que nunca utilizo el hecho de que $\sum{a_n}$ es absolutamente convergente:

Prueba: Dejemos que $s_n = \sum_{i=1}^n{a_n^2}$ . Quiero demostrar que $(s_n)$ es una secuencia de Cauchy. Por lo tanto, dejemos que $\epsilon > 0$ y $n > m$ y considerar, \begin{equation} \begin{aligned} |s_n - s_m| &= |(a_1^2 + a_2^2 + \cdots a_n^2) - (a_1^2 + a_2^2 + \cdots a_m^2)|\\ &= |(a_{m+1})^2 + (a_{m+2})^2 + \cdots + a_n^2|\\ &= |a_{m+1}|^2 + |a_{m+2}|^2 + \cdots + |a_n|^2\\ \end{aligned} \end{equation} Ahora bien, como $\sum{a_m}$ converge, la secuencia $(a_m)$ tiene límite 0. Por lo tanto, puedo elegir un $N$ tal que $|a_m| < \sqrt{\epsilon/n}$ para todos $m > N$ . Así que para todos $n > m> N$ tenemos, \begin{equation} \begin{aligned} |s_n - s_m| &= |a_{m+1}|^2 + |a_{m+2}|^2 + \cdots + |a_n|^2\\ &< \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n}}\right)^2 + \cdots + \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n}}\right)^2\\ &< \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n-m}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n-m}}\right)^2 + \cdots + \left(\sqrt{\frac{\epsilon}{n-m}}\right)^2\\ &= \epsilon \end{aligned} \end{equation} Por lo tanto, $(s_n)$ es Cauchy y $\sum{a_n^2}$ converge. Y como $\sum{a_n^2} = \sum{|a_n^2|}$ la serie $\sum{a_n^2}$ es absolutamente convergente. ∎

¿Estoy haciendo algo mal? ¿Estoy en lo cierto al pensar que $\sum{a_n}$ no necesita ser absolutamente convergente para $\sum{a_n^2}$ para ser absolutamente convergente?

Answer 1

El problema con su prueba tal como está escrita es que $n$ es arbitraria, por lo que cuando se elige $N$ no está eligiendo un valor fijo - necesita un $N$ para cada $n$ .

Se podría enfocar esto señalando que hay un $N$ con $|a_m|\lt 1$ para $m\gt N$ y por lo tanto $|a_m|^2\lt |a_m|$ que establece una comparación utilizando la convergencia absoluta.

Answer 2

He aquí una alternativa:

Supongamos que $\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\left|a_n\right|\right)$ converge.

De ello se desprende que $(|a_n|)_{n\in \Bbb N}\longrightarrow 0$ por lo que existe $k>0$ tal que $\forall n\in \Bbb N(|a_n|<k)$ .

Así, $\forall n\in \Bbb N\left(|a_n|^2<k|a_n|\right)$ .

Desde $\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(k|a_n|\right)$ converge y debido a que todas las secuencias involucradas son de números reales no negativos, se deduce que $\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left(|a_n|^2\right)$ converge y el resultado se deduce.

Tenga en cuenta que $\left(a_n\right)_{n\in \Bbb N}$ también puede ser una secuencia compleja.

Answer 3

Aplicar la prueba de límite, observar ${a_n^2\over |a_n|}\to0$ . Ahora $\sum |a_n|$ converge $\implies\sum a_n^2$ converge.