Hace habitual Jordania descomposición ser conservados por finito dimensionales de la representación?

Question

Si $\mathfrak g\subseteq \mathfrak{gl} (V)$ es un finito dimensionales Mentira álgebra, entonces tenemos una costumbre Jordania descomposición en $\mathfrak{gl} (V)$, $$\forall x \in \mathfrak{g}\ \existe x_s, x_n\en \mathfrak{gl}(V),\quad x = x_s + x_n, \ x_s \text{ es diagonalizable}, x_n \text{ es nilpotent}$$ supongamos $\dim V = n$, e $x$ está en la forma canónica de Jordan de una determinada base de $V$. Podemos optar por una base de $\mathfrak{gl} (V)$ como $\{e_{ij}\}$ cuyas $(i,j)$ entrada $1$ y el resto de las entradas son de fuga. Por esta base, podemos comprobar fácilmente $\mathrm{ad}_{x_s}$ es diagonalized y $\mathrm{ad}_{x_n}$ es nilpotent. Desde la singularidad de Jordania descomposición para $\mathrm{ad}_x$, habitual Jordania descomposición es conservado por los adjuntos de la representación.

En general los casos, si cualquier finito dimensionales de la representación, se conserva la costumbre de Jordania descomposición?

Tal vez sólo considerar el caso de que los espacios vectoriales son más de algunos algebraicas campo cerrado.

Y he visto un teorema establece que (no estoy muy segura), existen polinomios $S,N$ sin término constante tal que $x_s = S(x), x_n = N(x)$ y que sólo dependen de la álgebra de la Mentira en sí misma.

Muchas gracias!

Answer 1

No, Jordania descomposición no se conserva en general. Por ejemplo, tomar una dimensión de la Mentira subalgebra generados por cualquier matriz: la matriz puede ser semi-simple o nilpotent (o algo parecido), pero el resumen álgebra de la Mentira es siempre el mismo (abelian).

La mayoría de los resultados generales son las siguientes: para $\mathfrak{g}$ semi-simple Mentira álgebra sobre los números complejos, el adjunto de la representación es inyectiva y nos definir el Jordán descomposición $$\mathrm{ad}(x)=\mathrm{ad}(x_s)+\mathrm{ad}(x_n)$$ so that $\mathrm{ad}(x_s)$ and $\mathrm{ad}(x_n)$ are the semi-simple and nilpotent parts of $\mathrm{ad}(x)$ (se debe verificar esto está bien definido).

Teorema: Vamos a $\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)$ por un semi-simple Mentira subalgebra. A continuación, $\mathfrak{g}$ contiene el semi-simple y nilpotent partes de cada una de las $x \in \mathfrak{g}$, y estas son las $x_s$ e $x_n$.

El teorema implica que las imágenes por cualquier representación de la $x_s$ e $x_n$ son los semi-simple y nilpotent partes de la imagen de $x$. Frecuentemente utilizado de referencia de esta es Humphrey del libro Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación. Ver el Teorema de 6.4.