Divisibilidad y la Nagata-Smirnov Metrisation Teorema de

Question

Definiciones:

Deje $X$ denotar un espacio topológico todo.

Si todos singleton subconjuntos de a$X$ están cerrados, entonces llamamos a $X$ Fréchet. Si, dado cualquier subconjunto cerrado $C \subset X$ punto $x \in X - C$, existen distintos barrios de $x$ e $C$, entonces llamamos a $X$ quasiregular. Si $X$ es tanto Fréchet y quasiregular, entonces llamamos a $X$ regular. (A-idealmente evitar la confusión, evito el uso de la $T_n$ notación para las propiedades de separación por completo, y el uso de los convenios de Clark, notas de topología general en este PDF.

Una colección de $\mathcal{A}$ de los subconjuntos de a$X$ se dice localmente finito si, para cada punto de $x \in X$, existe una vecindad de a$x$ que se cruza sólo finitely-muchos de los elementos de $\mathcal{A}$. Si podemos escribir una colección de $\mathcal{B}$ de los subconjuntos de a$X$ como una contables de la unión de $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{A}_n$, donde cada una de las $\mathcal{A}_n$ es localmente finito, entonces la colección de $\mathcal{B}$ se dice $\sigma$-localmente finito.

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Mi pregunta:

Estoy confundido acerca de la prueba de una dirección de la Nagata-Smirnov metrisation teorema dado como Lema 4.20 en Kelley, que para la integridad me unen a este post como una imagen. En la terminología mencionada anteriormente, la declaración de este lema es

Un espacio normal cuya topología es generado por una $\sigma$-localmente finito base es metrisable.

Como yo lo entiendo, su enfoque es hacer uso de la $\sigma$-localmente finito de base para definir una contables de la colección de $\{ d_{(n,m)} \}_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ de funciones continuas $X \to \mathbb{R}$, y, a continuación, mostrar que esta colección se distingue puntos de subconjuntos cerrados de $X$. Esto nos permite deducir que la evaluación del mapa de $x \mapsto \left( d_{(n,m)}(x) \right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ incrusta $X$ como un subespacio de la metrisable espacio de $\prod_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} \mathbb{R}$, que a su vez nos dice que $X$ es en sí mismo metrisable. (Moralmente, esto parece básicamente idéntica a la del estándar de prueba de la misma dirección de Urysohn del metrisation teorema del módulo los detalles técnicos de la definición de los contables de la colección de funciones $X \to \mathbb{R}$ en el primer lugar.)

Ahora, existen metrisable espacios que no sean separables (o, de manera equivalente, a no ser de segunda contables); por ejemplo, la topología discreta en cualquier innumerables conjunto subyacente. Lo que yo no entiendo es por qué Lema 4.20 no implica que todos los metrisable espacios son separables cuando se combina con la inversa de la implicación.

Explícitamente, si asumimos que la topología de cualquier metrisable espacio generado por algunos $\sigma$-localmente finito, entonces mi comprensión de Lema 4.20 nos dice que podemos incrustar en los espacios en los contables de producto $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$. Como un producto de countably-la segunda contables espacios, $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$ es segundo contable; desde el segundo countability es heredado por subespacios, esto parece implicar la (falsa) resultado de que todos los metrisable espacios son de segunda contables.

Donde es mi entendimiento que va mal?

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$T_1$, Yo uso "Fréchet".">

Answer 1

Es comparable a la escritura en mi nota (note la similitud con 4.14 Kelley):

Lema 3: Deje $X$ ser regular y $T_0$ y deje $d_i, i \in \mathbb{N}$ ser una contables de la familia de continuo pseudometrics en $X$ tal que todos ellos están delimitadas por $1$ e tal que para cada cerrado $A$ y cada una de las $x \notin A$, hay algunos $i$ tal que $d_i(x,A)>0$donde $d_i(x,A)=\inf\{d_i(x,a): a \in A\}$ como de costumbre. A continuación, $X$ es metrisable y $$d(x,y)=\sum_i \frac{1}{2^i}d_i(x,y) $$ es compatible métrica.

Así que no es una incrustación de argumento, sino una construcción directa de la métrica de la countably muchas continua pseudometrics. El countability de la familia proviene de la "$\sigma$" $\sigma$-localmente finito de base, y el bien definedness de cada pseudometric desde el local de la finitud, si se analiza la prueba.

Usted puede probar el lema por la incrustación de argumento, como Kelley: vamos a $X_n$ ser $X$ en la topología inducida por la pseudometric $d_n$, la continuidad de la pseudometric implica que la asignación de identidades $i_n$ de $X$ a $X_n$ es continua. Un estándar es un hecho que la suma ponderada pseudometric induce el producto de la topología en $\prod_n X_n$. La propiedad de la familia de pseudometrics implica entonces la familia de $i_n$ separa puntos y conjuntos cerrados y el estándar de la incrustación de teorema, a continuación, da la declaró resultado de que el $d$ métrica he definido obras. Lo que no podemos incrustar en una contables producto de copias de reales, pero en una contables producto de pseudometric espacios del mismo tamaño como $X$. No separable necesariamente.

Answer 2

El libro escribió:

Hay una contables de la familia $D$ tal que para cada cerrado $A$ e $x\notin A$, hay un pseudometric $d_n\in D$ de $X\times X$ a $\Bbb R$ tal que $d_n(x,A)>0$.

Así, la incorporación debe ser

$$f: X\rightarrow \Bbb R^J \text{ where } J=\Bbb N\times\mathscr A \text{ and } \mathscr A=\{A\subseteq X\mid A \text{ closed }\}$$

$$x\mapsto (d_n(x,A))_{(n,A)\in J }$$

Claramente, $J$ no necesita ser contables, por lo $\Bbb R^J$ no necesita ser segundo contables.