¿Distributividad Implica El Poder De La Asociatividad?

Question

Digamos que tenemos un álgebra $(A, +, \cdot)$, donde $(A, +)$ es un Grupo Abelian. Todo lo que sabemos acerca de la $\cdot$ es que tanto la izquierda y la derecha distributiva sobre la suma. Así, $\forall a,b,c \in A, a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ e $(b+c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$.

No podemos asumir la $ \cdot $ es asociativa, conmutativa, o cualquier otra cosa además de la distribución.

No sabemos si la multiplicación es el poder asociativo o no? Es decir, para todos los $a$, los poderes de $a$ son asociativos (e.g $a \cdot (a \cdot a) = (a \cdot a) \cdot a$).

Si es así, ¿qué sería de la prueba? Si no, hay un contraejemplo?

He intentado esto mismo, pero no pude encontrar ninguna pista de una prueba, así que traté de producir un contraejemplo, en forma similar, con suerte.

Answer 1

A mí me parece que puede construir un ejemplo por hacer algo como un anillo de grupo , pero no con un grupo, en lugar de con un no-poder-asociativo de magma.

Deje $M$ ser cualquier magma que no es el poder asociativo. Usted sólo puede utilizar la conexión de magma en un elemento, cuyos elementos comienzan $\{x, xx, x(xx), (xx)x, \ldots\}$.

Entonces, la forma formal de combinaciones con números enteros como los coeficientes de $\sum_{m\in M} z_mm$ son estipulados para ser finitely compatibles.

La multiplicación se define distributivamente, por lo que la resultante de álgebra debe ser distributiva, pero también es evidente que no poder asociativo desde $(xx)x\neq x(xx)$.