Marco doble en métricas de Riemann.

Question

Supongamos que tenemos una métrica de Riemann $ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ en un local de coordenadas vecindario $(U;(u,v))$ demostrar que para los siguientes campos vectoriales:

$$e_{1}=\frac{1}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u},\quad e_{2}=\frac{-1}{\sqrt{EG-F^2}}\left(\frac{F}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u}-\sqrt{E}\frac{\partial}{\partial v}\right)$$

El $1-$formas: $$\omega_1=\sqrt{E}\left(du+\frac{F}{E}dv\right),\quad \omega_2=\sqrt{\frac{EG-F^2}{E}}dv$$ satisface: $$\omega_i(e_k)=\delta_{ik}$$

Mi trabajo: Vamos a $p(u,v)$ una función derivable, creo que se me debe mostrar fisrtly que $\omega_1(e_1(p))=p$, es decir, $\omega_1(e_1)=1$ la función identidad.

$$\omega_1\left(\tfrac{1}{\sqrt{E}}\tfrac{\partial}{\partial u}(p)\right)=\tfrac{1}{\sqrt{E}}\tfrac{\partial}{\partial u}(\omega_1(p))$$ Hago esto porque un $1-form$ $\alpha$ es tal que $\alpha(fX)=f\alpha(X)$. Entonces es correcto que $\omega_1(p)=\sqrt{E}\left(pdu+\frac{F}{E}pdv\right)?$ y, a continuación, aplicar la derivada parcial, mi problema es que no sé ho operar en el $1$-forma. Alguien me puede orientar en como puedo llegar al resultado o de una forma explícita para operar con $\omega_1$ e $\omega_2$?

Estoy usando el libro "Umehara, la geometría diferencial de superficies".

Answer 1

Creo que usted puede hacer esto mediante el cálculo directo. Fix $p\in U$. Si $X_p\in TU_p$, a continuación, $X_p=a\partial_u+b\partial_v$ para algunos $a,b\in \mathbb R$, y por definición de la $1-$formas de $du$ e $dv$, tenemos $du(X_p)=a$ e $dv(X_p)=b$. Ahora, aplicar esto a la tangente vectores $e_1$ e $e_2$:

$\omega_1(e_1)=\sqrt{E}\left(du+\frac{F}{E}dv\right)\frac{1}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u}=\sqrt E\frac{1}{\sqrt E}(\partial_uu)=\frac{\sqrt E}{\sqrt E}=1$

Del mismo modo,

$\omega_1(e_2)=\sqrt{E}\left(du+\frac{F}{E}dv\right)\left(\frac{-1}{\sqrt{EG-F^2}}\left(\frac{F}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u}-\sqrt{E}\frac{\partial}{\partial v}\right)\right )=-\frac{\sqrt E}{\sqrt{EG-F^2}}\left (\frac{F}{\sqrt E}-\frac{F\sqrt E}{E}\right )=0.$

$\omega_2(e_1)=\sqrt{\frac{EG-F^2}{E}}dv\left(\frac{1}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u} \right)=\sqrt{\frac{EG-F^2}{E^2}}\partial_u v=0$

y

$\omega_2(e_2)=\sqrt{\frac{EG-F^2}{E}}dv\left(\frac{-1}{\sqrt{EG-F^2}}\left(\frac{F}{\sqrt{E}}\frac{\partial}{\partial u}-\sqrt{E}\frac{\partial}{\partial v}\right)\right)=\left(\sqrt{\frac{EG-F^2}{E}}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt E}{\sqrt{EG-F^2}}\right)=1$

Answer 2

Tenga en cuenta que $e_i$ es un ortonormales de vectores campos wrt $ds^2$. Por lo tanto, nosotros vamos a $ \omega_i=ds^2(e_i,\cdot)$ que es de doble marco.