la búsqueda de una solución para esta relación de recurrencia

Question

Encontrar la secuencia que satisface la relación de recurrencia $$n a_{n+1} = (n+1) a_n+n(n+1)$$ with the initial condition $a_0=0$.

Estoy tratando de encontrar una solución para esta relación de recurrencia. Después de dividir ambos lados por $n(n+1)$, obtenemos: $$\frac{a_n+1}{n+1} =\frac{a_n}{n} +1.$$

Después de la configuración de $b_k=a_n/n$, la relación resultante es $b_{k+1} = b_k +1$.

$b_{k+2} = b_{k+1} +1$ restando esta relación de la anterior, tengo :

$b_{k+2} -2*b_{k+1} +b_k = 0$ después de que me reemplace $b_k = \lambda^k$ Me dieron :

$\lambda^{k+2} -2*\lambda^{k+1}+b_k$ y después de dividir la relación de $\lambda^k$ el resultado es $\lambda^2 + \lambda +1 = 0$

y la solución para la última relación es $\lambda = 1$

pero me detuve allí, porque la Condición inicial es $a_0=0$ y yo no puede encontrar el valor de $a_1$.

puede alguien me demuestra que hay una forma correcta o una solución adecuada para esta relación de recurrencia?

Answer 1

Este no es un bien plantea un problema. En otras palabras, dado $a_0=0$, el valor de $a_1$ puede ser cualquier número real de ningún tipo, ya que debe satisfacer $$ 0 \cdot a_1 = 1 \cdot a_0 + 0 \cdot 1, $$ y ambos lados se $0$ para cualquier valor de $a_1$, por lo que la igualdad se mantiene. En otras palabras, las condiciones especificadas ¿ no únicamente especificar una secuencia.

Answer 2

Dado el valor de $a_1$ ha $a_n = n(n-1) + na_1$ para todos los $n\ge 0.$ La recursividad ecuación $$n a_{n+1} = (n+1) a_n+n(n+1)\tag{1}$$ for $n=0$ is just $a_0=0.$ In other words, you should start with initial condition for $a_1$ and then all other values of $a_n$ for $n>1$ are determined, and also $a_0=0.$

Si usted quiere resolver para $n<0$, entonces el valor de $a_{-1}$ tiene la ecuación de $a_n = n(n-1) + na_{-1}$ que determina el $a_n$ para todos los $n<0.$