Identificar el grupo de $G = \langle x,y \space | \space xy=yx, x^4=y^2 \rangle$ a partir de dicha presentación

Question

Estoy tratando de resolver un problema en mi libro de texto que me pide para identificar los grupos de $G_1 = \langle x,y \space | \space x^3y=y^2x^2=x^2y\rangle$ e $G_2 = \langle x,y \space | \space xy=yx, x^4=y^2 \rangle$ de las presentaciones.

Para $G_1$, estoy bastante seguro de que puedo decir que $x^3y=x^2y \implies x^3y(x^2y)^{-1} = e \implies x = e$ (donde $e$ es la identidad) y, a continuación, $x^3y=y^2x^2 \implies y = y^2$ como $x=e$ conseguir $G_1 = \langle x,y \space | \space x=y=e \rangle \cong \{e\}$ (aunque se lo agradecería si me pudiera decir si tengo este mal).

Lo que estoy luchando con la que está tratando de hacer el mismo tipo de cosa para $G_2$ - no puedo ver ninguna manera de conseguir esto en una forma donde puedo ver el grupo representado.

Agradecería cualquier ayuda que podría ofrecer.

Answer 1

$$G_2 = \langle x, y | xy = yx, x^4 = y^2 \rangle = \frac{ \langle x, y | xy = yx \rangle }{\langle \langle x^4y^{-2} \rangle \rangle} = \frac{\langle x \rangle_{\infty} \times \langle y \rangle_{\infty} }{\langle x^4y^{-2} \rangle} \cong \frac{\langle x \rangle_{\infty} \times \langle y \rangle_{\infty} }{\langle x^2y^{-1} \rangle} \times C_2 \cong C_{\infty} \times C_2$$