Espectáculo $\lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + 2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^{2}} = f''(x)$ a Prueba de verificación

Question

Espectáculo $$\lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + 2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^{2}} = f''(x)$$

Prueba:

Por definición:

$$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Utilizando esta idea implicaría:

$$1)\ \ f''(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$$

Como tal, es necesario que encuentre una expresión para $f'(x+h)$. Aquí es donde no estoy seguro de si el paso que di es legítimo.

Una expresión para $f'(x + h)$ es:

$$f'(x+h) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + 2h) - f(x + h)}{h}$$

Combinando esto con la definición de $f'(x)$ e insertar en 1) se llega a: $$\lim_{h \to \ 0} \frac{f(x + 2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^{2}} = f''(x)$$

Como se requiere.

Preocupación: me siento un malestar con esta solución. Aunque "mecánicamente" funcionó, si estoy tomando el límite cuando $h \rightarrow 0$ que significaría $x + 2h$ e $x + h$ tanto para ir a $x$. Pero estoy tratando de usar la idea de que $x +2h$ va a la $x + h$. Tal vez es una notación idea de que necesito para comunicarnos mejor, pero siento que es más grande que eso.

Answer 1

Tenemos $$f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)=\lim_{k\to0}\frac{f(x+h+k)-f(x+h)}{k}-\lim_{k\to0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\\=\lim_{k\to0}\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{k}$$and so$$f^{\prime\prime}(x)=\lim_{h\to0}\lim_{k\to0}\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{kh}.$$You're right to feel "discomfort": we need to justify how we go from using two distinct tend-to-$0$ variables de uno solo. Aquí está mi entendimiento, pero una mayor experto en análisis podría decir que esta no es la manera correcta de hacerlo):

La cantidad cuyo límite doble tomada es $h\leftrightarrow k$-simétrico, por lo que el fib $f^{\prime\prime}(x)$ existe podemos escribir de forma inequívoca$$f^{\prime\prime}(x)=\lim_{h,\,k\to0}\frac{f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x)}{kh}.$$Then we can take $h,\,k$ to $0$ in any way we like, all giving the same result, so let's take $k=h$. Then$$f^{\prime\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}.$$

Edit: siguiendo las recomendaciones de los comentarios de @ParamanandSingh la izquierda, debajo de la OP, y esta respuesta, vamos a hacerlo en un menor sospecha manera, que hace uso de sólo uno tiende-a-$0$ variable, pero no en la forma en que el OP intentado. Usando la regla de L'Hôpital,$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f^\prime(x+2h)-f^\prime(x+h)}{h}\\=2\lim_{h\to 0}\frac{f^\prime(x+2h)-f^\prime(x)}{2h}-\lim_{h\to 0}\frac{f^\prime(x+h)-f^\prime(x)}{h}=2f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x).$$

Answer 2

Deje $f$ ser cualquier función continua, que es el segundo diferenciable en $a$ (es decir, $f''(a)$ existe). Por definición, de la segunda a la diferenciabilidad en un punto, $f'(x)$ existe más de $(a-\eta,a+\eta)$ para algunos $\eta > 0$. Definir $g : (-\eta, \eta) \to \mathbb{R}$ por

$$g(x) = f(a+x) - f(a) - f'(a) x - \frac12 f''(a) x^2$$

Es evidente $g$ es continua, segundo diferenciable en a$a$ e $g'(x)$ existe más de $(-\eta,\eta)$. Además, $g(0) = g'(0) = g''(0) = 0$. Lo que queremos mostrar es equivalente a la siguiente instrucción

$$\lim_{h\to 0}\frac{g(2h) - 2g(h) + g(0)}{h^2} = 0 \tag{*1}$$

Desde $f''(a)$ existe $g''(0) = \lim_{h\to 0}\frac{g'(h)}{h}$ existe y se desvanece. Para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $\delta \in ( 0,\eta)$ tales que

$$\left|\frac{g'(x)}{x}\right| = \left|\frac{g'(x) - g'(0)}{x}\right| < \frac{\epsilon}{3}\quad\text{ whenever }\quad 0 < |x| < \delta$$

Para cualquier $h$ tal que $0 < |h| < \frac{\delta}{2}$, aplicar MVT a $g(2h) - g(h)$ e $g((h) - g(0)$, nos encontramos hay $p,q \in (0,1)$ tales que $$\frac{g(2h) - g(h)}{h} = g'((1+p)h)\quad\text{ and }\quad \frac{g(h) - g(0)}{h} = g'(qh)$$

Esto lleva a

$$\begin{align}\left|\frac{g(2h) - 2g(h) + g(0)}{h^2}\right| & \le \left| \frac{g(2h) - g(h)}{h^2}\right| + \left|\frac{g(h) - g(0)}{h^2}\right|\\ &= \left|\frac{g'((1+p)h)}{h}\right| + \left|\frac{g'(qh)}{h}\right| \\ & < \frac{\epsilon}{3}\left((1+p) + q\right)\\ & < \epsilon \end{align} $$

Desde $\epsilon$ pueden ser arbitrariamente pequeño, $(*1)$ y, por tanto, de la siguiente manera $$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h) - 2f(a+h) + f(a)}{h^2} = f''(a)$$

Answer 3

Sí, que la expresión es correcta. Usted encontrar la derivada en el punto de $y = x+h$ usinh la antigua definición

$$ f'(y) = \lim_{ h \to 0} \frac{ f(y + h) - f(y) }{h} $$