Integración de Riemann con discontinuidades contables

Question

Tengo una pregunta sobre 'elegir puntos de partición' para la integrabilidad de Riemann.

Por ejemplo,

Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función definida por $$f(x)\left\{\begin{array}{cl} 0, & x\in E, \\ 1, & \text{otherwise}. \end{array}\right.$$ donde $E=\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}$.

De hecho, para cualquier $\varepsilon>0$, elige un número $N\in\mathbb{N}$ tal que $1/N<\varepsilon/2$, y una partición $P\in\mathscr{P}[0,1]$ tal que $P=\{0=x_{0}<\cdots con $||P||<\frac{\varepsilon}{4N}$. Entonces, si $n\ge N$, tenemos \begin{align*} U(f,P)-L(f,P)&=\sum_{k=1}^{n}(M_{k}-m_{k})\Delta{x_{k}}\\ &<\sum_{k=1}^{n}1\cdot\Delta{x_{k}}\\ &<\frac{\varepsilon}{4N}\sum_{k=1}^{n}1=\frac{\varepsilon}{4N}\cdot n<\varepsilon. \end{align*} donde $M_{k}$ y $m_{k}$ son el supremo e ínfimo en cada subintervalo de $[0,1]$, respectivamente.

En primer lugar, creo que mi demostración no es verdadera. Pero, parece ser verdad...

De hecho, considero que el valor de $M_{k}-m_{k}$ en cada subintervalo es a lo sumo $1$, así que no consideré los puntos de discontinuidad de $f$ al tomar una partición.

¿Por qué esta demostración es falsa? ¿Alguien puede explicarlo?

Dé algunos consejos/comentarios. ¡Gracias!

Answer 1

Pista: dividir $\sum (M_k-m_k)\Delta x_k$ en la suma sobre $k <\epsilon$ y la suma restante. En la segunda suma, hay como máximo $\frac 1 {\epsilon}$ valores de $k$ donde $M_k-m_k\neq 0$. Hacer que la norma de la partición sea menor que $\epsilon^{2}$.