Son $3$, $9$ la única números naturales $n$ para $2^n-n$ $2^n+n$ son primos?

Question

He buscado por números naturales de $n$, donde $2^n-n$ e $2^n+n$ son de primer tanto para el rango de $n \le 10^5$ en PARI/GP y encontró que el 3, 9 son las únicas soluciones en este rango.

Tenga en cuenta que desde $2^n-n$, $2^n$, $2^n+n$ están en progresión aritmética y $2^n$ no es divisible por 3, $n$ debe ser un múltiplo de 3.

Preguntas:

$(1)$ Se $3$, $9$ el único números naturales $n$ para $2^n-n$ e $2^n+n$ son primos?

$(2)$ Si no, entonces se puede probar o refutar que hay finito de números naturales de este tipo?

Answer 1

Comentario Largo:

[3, 15, 27, 33, 45, 57, 63, 69, 87, 93, 99, 111, 117, 123, 141, 147, 153, 177, 183, 195, 207, 213, 225, 237, 243, 267, 273, 279, 285, 297, 303, 309, 321, 327, 333, 351, 357, 363, 375, 387, 393, 405, 417, 423, 435, 447, 453, 471, 477, 483, 489, 507, 513, 519, 531, 537, 543, 561, 567, 573, 597, 603, 615, 627, 633, 645, 651, 657, 663, 687, 693, 699, 705, 717, 723, 729, 741, 747, 753, 771, 777, 783, 801, 807, 813, 825, 837, 843, 855, 867, 873, 897, 903, 909, 927, 933, 939, 945, 951, 957, 963, 981, 987, 993, 1017, 1023, 1035, 1047, 1053, 1065, 1077, 1083, 1107, 1113, 1119, 1131, 1137, 1143, 1149, 1161, 1167, 1173, 1191, 1197, 1203, 1227, 1233, 1245, 1257, 1263, 1275, 1287, 1293, 1311, 1317, 1323, 1329, 1347, 1353, 1359, 1365, 1371, 1377, 1383, 1401, 1407, 1413, 1437, 1443, 1455, 1461, 1467, 1473, 1485, 1497, 1503, 1527, 1533, 1539, 1557, 1563, 1569, 1581, 1587, 1593, 1605, 1611, 1617, 1623, 1641, 1647, 1653, 1665, 1677, 1683, 1695, 1707, 1713, 1737, 1743, 1749, 1767, 1773, 1779, 1791, 1797, 1803, 1821, 1827, 1833, 1857, 1863, 1875, 1887, 1893, 1905, 1917, 1923, 1935, 1947, 1953, 1959, 1971, 1977, 1983, 1989, 2001, 2007, 2013, 2025, 2031, 2037, 2043, 2067, 2073, 2085, 2097, 2103, 2115, 2121, 2127, 2133, 2157, 2163, 2169, 2187, 2193, 2199, 2211, 2217, 2223, 2241, 2247, 2253, 2265, 2277, 2283, 2295, 2301, 2307, 2313, 2325, 2337, 2343, 2355, 2367, 2373, 2379, 2397, 2403, 2409, 2421, 2427, 2433, 2451, 2457, 2463, 2487, 2493, 2505, 2517, 2523, 2535, 2547, 2553, 2577, 2583, 2589, 2595, 2607, 2613, 2619, 2631, 2637, 2643, 2661, 2667, 2673, 2685, 2697, 2703, 2715, 2727, 2733, 2745, 2757, 2763, 2781, 2787, 2793, 2799, 2817, 2823, 2829, 2841, 2847, 2853, 2871, 2877, 2883, 2907, 2913, 2925, 2937, 2943, 2955, 2961, 2967, 2973, 2997, 3003, 3009, 3015, 3027, 3033, 3039, 3051, 3057, 3063, 3081, 3087, 3093, 3111, 3117, 3123, 3135, 3147, 3153, 3165, 3177, 3183, 3207, 3213, 3219, 3237, 3243, 3249, 3255, 3261, 3267, 3273, 3291, 3297, 3303, 3327, 3333, 3345, 3357, 3363, 3375, 3387, 3393, 3417, 3423, 3429, 3441, 3447, 3453, 3459, 3471, 3477, 3483, 3501, 3507, 3513, 3537, 3543, 3555, 3567, 3573, 3585, 3597, 3603, 3621, 3627, 3633, 3639, 3657, 3663, 3669, 3675, 3681, 3687, 3693, 3711, 3717, 3723, 3747, 3753, 3765, 3771, 3777, 3783, 3795, 3807, 3813, 3837, 3843, 3849, 3867, 3873, 3879, 3891, 3897, 3903, 3915, 3921, 3927, 3933, 3951, 3957, 3963, 3975, 3987, 3993, 4005, 4017, 4023, 4047, 4053, 4059, 4077, 4083, 4089, 4101, 4107, 4113, 4131, 4137, 4143, 4167, 4173, 4185, 4197, 4203, 4215, 4227, 4233, 4245, 4257, 4263, 4269, 4281, 4287, 4293, 4299, 4311, 4317, 4323, 4335, 4341, 4347, 4353, 4377, 4383, 4395, 4407, 4413, 4425, 4431, 4437, 4443, 4467, 4473, 4479, 4497, 4503, 4509, 4521, 4527, 4533, 4551, 4557, 4563, 4575, 4587, 4593, 4605, 4611, 4617]

son valores mod 4620 que el ajuste que se extraña, 0 mod 3, pero son eliminados por 5,7,o 11. Vea usted puede utilizar Fermat poco teorema el exponente n es mod p-1, la suma o resta de n, es mod p. A continuación, puedes combinarlos tanto, el uso de la CRT.

Esto eliminó 480 de la resolución 1540 ( 31%) de todas las posibilidades una vez 0 mod 3 ( de sólo una vez 770 mod 2 está establecido así en realidad, más del 62%). Sí, hay probabilidades de los rendimientos decrecientes.

Anexo Aquí es cómo llegué a esto ( lo puso junto con los en línea gp.html como último paso)

si n es par, obtenemos: $$\text{even -even=even}\\\text{even+even=even}$$ Que a menos de que ellos son iguales (tanto para n=0 la única vez que ambos son impares es igual a 1) tenemos dos números primos, contradiciendo 2 ser el único.

Si n es impar, $$2^n\equiv 1\bmod 3$$ Que luego se ha de restar n divisible por 3 si n es 1 mod 3, y la adición de n divisible por 3 si n es 2 mod 3. lo que n es 0 mod 3.

Mod 5, podemos obtener si el exponente es 1 mod 4, n no es 2, o 3 mod 5, lo que equivale a n que no encajen 17 o 13 mod 20. Sin embargo, si n es 3 mod 4, n no es 3 o 2 mod 5 (resta/suma de pedido) lo que significa que n no es 7 o 3 mod 20. todos estos pueden convertirse en equivalentes mod 60 de divisibilidad por 3.

Mod 7, tenemos el CRT el exponente n puede ser sólo 3 mod 6, llevando a n de no ser 1 o 6 mod 7, también conocido como n no es 15 o 27 mod 42.

Mod 11, tenemos todos los casos de extrañas exponentes de nuevo ( mucho de la posible superposición) 1 mod 10 no da 2 o 9 mod 11 ( inverso aditivo parejas), 3 mod 10 lleva a no 8 y 3 mod 11, 5 mod 10 lleva a no 10, o 1 mod 11, 7 mod 10 lleva a no 7 o 4 mod 11, 9 mod 10 lleva a no 6 o 5 mod 11. El uso de la CRT, estos van para no 101,31,3,63,65,45,7,37,39,49 mod 110 . Como el mod 20 caso podemos convertir estas en un alto de la mod de la divisibilidad.

reunir todos estos juntos eliminando los duplicados de obtener la exclusión de la matriz anterior.

mod 13 no sólo equivale a 4 potencialmente usuable knock-out de los casos mod 156. etc.