En el análisis funcional hay una gran diferencia entre el finito y el infinito-dimensional espacios vectoriales. He encontrado otras preguntas con buen respuestas aquí y aquí.
Sin embargo, no quiero comprender la razón fundamental de tal diferencia: es sólo porque la unidad de la bola se convierte en no-compacto? ¿Por qué el hecho de tener tantas consecuencias dramáticas?
Ciertamente, no se puede "sólo porque la unidad de la bola se convierte en no-compacta", porque no son importantes algebraica de las diferencias entre finito e infinito dimensión que no dependen de tener una norma disponibles (modo "unidad de pelota" no tendría sentido).
Uno de los más simples diferencias es que si $V$ es finito-dimensional, entonces una transformación lineal $V\to V$ es inyectiva si y sólo si es surjective, mientras que tanto las direcciones de este fallar en infinitas dimensiones.
Fundamentalmente creo que la causa subyacente es que en un número finito de dimensiones del espacio, un (multi)el conjunto de vectores cuya cardinalidad es menor o igual que la dimensión tiene siempre una suma. Este no es el caso de un infinito espacio tridimensional, y eso lo cambia todo.
(Más precisamente, este es responsable de la mayoría de las cosas que siempre son fieles en lo finito-dimensional en el espacio, pero puede fallar en dimensión infinita. De lo contrario, cosas que son siempre verdaderos en la infinita dimensión, pero puede fallar en dimensiones finitas -- la combinatoria de las propiedades de los conjuntos infinitos que celtschk la respuesta de las listas son, probablemente, el lugar para poner la culpa.)
Creo que la mayoría de las diferencias que en última instancia se remontan a las siguientes propiedades de los conjuntos infinitos (donde los conjuntos relevantes serían las bases del espacio vectorial o funciones de los vectores de la base):
Por ejemplo, los puntos que figuran en esta respuesta a uno de sus vinculado preguntas:
Cualquier bijection de base para un subconjunto de la base induce un endomorfismo sólo extendiendo a la totalidad del espacio a través de la linealidad. Por ejemplo, si usted tiene una contables base $e_k$ indexados por $\mathbb Z$, no es un endomorfismo $T$ que envía a $e_k$ $e_{2k}$y, en consecuencia,$\sum_k \alpha_k e_k$$\sum_k \alpha_k e_{2k}$.
Es fácil comprobar que los no-vector cero se asigna a $0$, lo $\operatorname{Ker} T=\{0\}$. También, es evidente que ningún vector se asigna a $e_1$, lo $T$ no es surjective.
Un vector $v$ es siempre una de las combinaciones lineales de finitely muchos vectores de la base, por lo tanto, cualquier función de $x\mapsto \langle v,v\rangle$ es distinto de cero sólo en un número finito de dimensiones subespacio. Pero, por supuesto, existen lineal de formas que no son cero en todos los vectores de la base; en particular, para cualquier subconjunto de una base existe una forma lineal que los mapas de cualquier base de vectores a partir de ese subconjunto a $1$, y cualquier base de vectores no en ese subconjunto de a $0$. Ya hay más de subconjuntos de subconjuntos finitos, existen más lineal formas de vectores.
Para el mapeo lineal $f$ y la base de la $b_n$, la $\{\left\|f(b_n)\right\|\}$ no puede tener un supremum si $\{b_n\}$ es infinito.
El conjunto $\{\left\|b_n\right\|_A / \left\|b_n\right\|_B\}$ puede ser infinito por infinito.
En un número finito de dimensiones reales (o complejos) espacio vectorial de todos los que no son triviales normas son equivalentes y las métricas asociadas a esas normas completa. En el infinito-dimensional de la configuración de la elección de la norma es mucho más crucial, como la resultante de las métricas no necesita ser completado y puede tener muy diferentes terminaciones. Considerar en $C[0,1]$ el uniforme de la norma, $L^1$-norma, y $L^2$-norma. Son no equivalentes, el espacio es completo para la primera norma, pero no para el segundo y tercer lugar.
Un resultado más difícil es que un número finito de dimensiones reales (o complejos) espacio vectorial tiene sólo un nondiscrete Hausdorff topología de lo que es un espacio vectorial topológico (es decir, la adición de vectores y la multiplicación escalar son continuas). Esta topología es, por supuesto, la que viene de cualquier no-trivial de la norma. Infinito-dimensional espacios vectoriales puede tener un montón de diferentes topologías, ya que puede tener no equivalentes normas y también de las topologías que no provienen de normas como la débil* topología.
Cada transformación lineal entre dos finito-dimensional reales (o complejos) espacios vectoriales es continua respecto de la canónica de la topología en esos espacios (la topología de cualquier norma). Así que no hay necesidad de un "circuito Cerrado Gráfico Teorema" de dimensiones finitas. Y esta es también la razón por la doble espacio es mucho más sencillo de dimensiones finitas: cada funcional lineal es automáticamente continua.
Uno de los más interesantes propiedades de un finito-dimensional espacio lineal $X$ es que el espacio de los operadores lineales en $X$ es también finito-dimensional. Que se traduce en Álgebra. De hecho, si $A : X \rightarrow X$ es lineal, $I,A^{2},\cdots A^{N^{2}}$ debe ser linealmente dependiente de establecer si $N=\dim(X)$, lo que le da la existencia de un polinomio $p$ tal que $p(A)=0$, y un mínimo polinomio $m$ con orden más alto coeficiente de $1$ tal que $m(A)=0$. Además, y sorprendentemente, el orden de los mínimos polinomio nunca supera $N$. Nada de esto es cierto en infinitas dimensiones, y la mayoría de ella no tiene sentido.
Si $m(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda + a_{n}$ es el mínimo polinomio entonces $$ \begin{align} -a_{n}I & = A(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_{1}I) \\ & = (A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_{1}I)A. \end{align} $$ A partir de esto se vuelve obvio que $A$ ha dejado inversa de la fib tiene derecho inversa, y esto ocurre iff $a_{n}=m(0) \ne 0$. Lo anterior demuestra que la izquierda inversa es siempre un derecho y al revés, un derecho inversa es siempre una izquierda inversa, lo que hace que toda la inversa; y además, si a la inversa existe, debe ser un polinomio en $A$.
Los mismos argumentos muestran que $A-\lambda I$ es invertible iff $m(\lambda)\ne 0$, lo que significa que sólo hay un número finito de $\lambda$ que $A-\lambda I$ es no invertible. Esto se convierte en un problema de polinomios sólo, y a la inversa tiene la forma $$ (A-\lambda I)^{-1}=-\frac{1}{m(\lambda)}(\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}C_{n-2}+\cdots \lambda^{1} C_1+C_0), $$ donde el coeficiente de matrices $C_{k}$ son polinomios en $A$. Si estás trabajando sobre $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{R}$, entonces usted puede escribir en términos de una fracción parcial de la descomposición que implican las raíces $\{ \lambda_{1},\cdots,\lambda_{k}\}$$m$: $$ (A-\lambda I)^{-1} = \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{r_l} \frac{1}{(\lambda\lambda_{l})^{j}}A_{l,j}. $$ Todos los coeficiente de las matrices de $A_{l,j}$ son polinomios en $A$, y a partir de esto se puede derivar las herramientas que necesitan para obtener la forma normal de Jordan, incluyendo la existencia cíclica subespacios asociados con autovalor $\lambda_{l}$--estos subespacios han pedido máximo igual a la orden de la pole en $\lambda_{l}$.
Por lo Finito-dimensional lineal del espacio tiene un asombroso efecto profundo en el álgebra de operadores lineales, y esta es una de las diferencias más importantes. La compacidad y la topología no comprar mucho en este contexto; no es realmente necesario. Sin embargo, la topología es necesario para lidiar efectivamente con infinitas dimensiones de los espacios, de modo que usted puede construir a partir de lo finito. El álgebra lineal de los operadores en las dimensiones infinitas espacios, sin embargo, no es sólo limpia; y no se espera que sea.
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