Diferentes propósitos para el uso de los Grandes-$N$ Expansión

Question

He iniciado el estudio de los Grandes-$N$ expansión y parece ser que existen varias razones para usarlo.

• En el contexto de la SYK modelo, el límite es útil, ya que reorganiza los diagramas de Feynman en una auto-similar manera tal que la expresión para la función de Green se convierte en un auto-consistencia de la ecuación. Esto puede ser visto en cualquier revisión sobre el tema (ver por ejemplo [1] )

• En el artículo original de t'Hooft [2] el punto parece ser que esta reorganización de los diagramas de hace un holográfica dualidad con cadenas claro (estoy completamente familiarizado con la Holografía y la Teoría de las cuerdas por lo que podría estar totalmente equivocado)

• Por último, en relación a los quarks, pero no relacionada con la holografía, muchos de los Grandes-$N$ comentarios (ver por ejemplo [3]) introducir auxiliar bilineal campos y argumentan que, en la gran-$N$ límite, su media de los valores de simplificar como

\begin{equation} \langle \phi_a (x) \phi_a (y) \rangle \xrightarrow{N\rightarrow \infty} \langle \phi_a (x) \rangle \langle \phi_a (y) \rangle + \frac{1}{N}\dots \end{equation}

Me preguntaba si alguien más entendido en el tema podría explicar los diferentes enfoques, cómo se relacionan y en qué campos se utilizan.

[1] https://arxiv.org/abs/1807.03334

[2] http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/gthpub/planar_diagram_theory.pdf

[3] https://arxiv.org/abs/1512.06784

Answer 1

Desde el punto de vista práctico, el principio subyacente de cualquier gran $N$ análisis es el mismo: hace posible describir la teoría de los intereses como un clásico de la teoría mediante la cual uno puede calcular interesante físicos observables en la teoría original. Esto es básicamente lo que se está diciendo en su tercer punto, y es también evidente en otros ejemplos que usted ha mencionado. El punto de silla de ecuaciones en esta descripción clásica frecuencia de captura de la Schwinger Dyson ecuaciones que de otra manera informáticas que utilizan los principales diagramas de Feynman. Por ejemplo, usted puede pensar de SYK modelo en términos de los campos colectivos $G(\tau_1,\tau_2)$ e $\Sigma(\tau_1,\tau_2)$ (por favor, consulte los documentos originales para esta descripción, como este uno) y las ecuaciones de los movimientos de la teoría clásica en términos de estas variables son sólo una interpretación diferente de la Schwinger-Dyson ecuaciones que se han referido como auto-consistencia de la ecuación. Mismo es cierto para el Bruto-Neveau modelo donde se puede re-escribir la teoría en términos de la clásica variables (acción efectiva de la teoría) y el punto de silla ecuaciones son básicamente la misma que la suma sobre todos los cactus diagramas en términos de original fermión grados de libertad (véase el Problema 11.3 en Peskin–Schroeder).

Tenga en cuenta que 't Hooft original de la observación fue que uno podría utilizar $N$ como un parámetro para organizar los diagramas en una teoría. No es necesario que los esquemas se organizan en forma de cadenas. De hecho, para el tensor de modelos como el SYK modelo no sabemos si una organización en términos de cadenas es posible. De hecho, su trabajo hincapié en algo muy importante en un gran $N$ teorías: que podría ser posible la reorganización de sus esquemas pero eso no implica que pueda suma de todos ellos. Esto también se hace hincapié en la introducción de Witten del papel. Sólo hay tantos ejemplos que conocemos en todos los diagramas se pueden sumar exactamente para calcular las cantidades físicas. Y en todos estos ejemplos, que por lo general es posible escribir la teoría en términos de algunas clásicas variables. La mayoría de las veces estas teorías clásicas no son locales, pero todavía son útiles porque uno sólo necesita hacer perturbativa de los cálculos en esta teoría.

Por último, la importante visión de AdS/CFT de la correspondencia es en el hecho de clasificar a una gran clase de los grandes-$N$ teorías que de hecho tienen un local, la descripción clásica en términos de una teoría gravitacional.