¿Cuál es la solución de la EDO lineal $\dot x = Ax + b$ ?

Question

Supongamos que tengo un sistema de EDO lineal

$$\dot x = Ax + b$$ donde $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, b \in \mathbb{R}^n$

Sé que cuando $b = 0$ utilizando la transformada de Laplace tenemos $x(s) = (sI-A)^{-1} x(0)$ que al invertir (pág. 13) obtenemos $x(t) = e^{At}x(0)$

Sin embargo, cuando $b$ es distinto de cero, la transformada de Laplace da

$$x(s) = (sI-A)^{-1}x(0) + (sI-A)^{-1}\dfrac{b}{s}$$

No tengo ni idea de cómo invertir $(sI-A)^{-1}\dfrac{b}{s}$

¿Alguien sabe cómo resolver esto?

Algunas reflexiones,

$(sI-A)^{-1}\dfrac{b}{s} = (sI-A)^{-1}(sI)^{-1}b = ((sI)(sI-A))^{-1}b = (s^2I - sA)^{-1}b$

Answer 1

Como enfoque alternativo, podemos utilizar una técnica que puede haber visto para resolver la ecuación diferencial escalar no homogénea $\dot x= kx+b(t)$ : suponer que una solución particular es de la forma $\mathbf x(t) = \exp(tA)\mathbf w(t)$ . Sustituyendo esto en la ecuación diferencial se obtiene $$A e^{tA}\mathbf w(t)+e^{tA}\dot{\mathbf w}(t) = Ae^{tA}\mathbf w(t)+\mathbf b(t)$$ para que $$\dot{\mathbf w}(t) = e^{-tA}\mathbf b(t).$$ Integrando, obtenemos $$\mathbf w(t) = \int_0^t e^{-sA}\mathbf b(s)\,ds$$ y $$\mathbf x(t) = e^{tA}\mathbf w(t) = \int_0^t e^{(t-s)A}\mathbf b(s)\,ds.$$ Esto obviamente satisface $\mathbf x(0)=0$ por lo que la solución general es $$\mathbf x(t) = e^{tA}\mathbf x_0+\int_0^t e^{(t-s)A}\mathbf b(s)\,ds.$$

Cuando $\mathbf b$ es constante y $A$ invertible, la integral anterior es igual a $(\exp(tA)-I)A^{-1}\mathbf b$ .

Answer 2

La integral de convolución en la respuesta de amd debería funcionar también, pero me gustaría añadir otros dos métodos para resolver $x(t)$ .

El primer método utiliza una transformación de coordenadas $z = x + a$ con $a\in\mathbb{R}^n$ similar a $b$ un vector constante. Diferenciando las nuevas coordenadas se obtiene

\begin{align} \dot{z} &= \dot{x}, \\ &= A\,x + b, \\ &= A\,(z - a) + b. \end{align}

Si uno puede resolver $A\,a=b$ para $a$ entonces $z=0$ sería un punto de equilibrio de $z$ y tendría la solución $z(t) = e^{A\,t}\,z(0)$ . Y de la definición de $z$ se deduce que

$$ x(t) = e^{A\,t}\,(x(0) + a) - a. $$

Se puede observar que $A\,a=b$ siempre se puede resolver para $a$ si $A$ tiene rango completo ( $\det(A)\neq0$ ).

La otra opción que siempre funcionaría es ampliar el espacio de estados en uno y fijar su condición inicial en uno $w = \begin{bmatrix}x^\top & 1\end{bmatrix}^\top$ . A saber, la ecuación diferencial $x$ equivale a

$$ \dot{w} = \begin{bmatrix}A & b \\ 0 & 0\end{bmatrix} w. $$

Así que la solución para $x(t)$ también se puede encontrar con

$$ x(t) = \begin{bmatrix}I & 0\end{bmatrix} e^{\begin{bmatrix}A & b \\ 0 & 0\end{bmatrix}t} \begin{bmatrix}x(0) \\ 1\end{bmatrix}. $$