Derivadas funcionales inversas: Encontrar una función cuya derivada funcional es una función dada

Question

https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative

¿Existe una forma sencilla de encontrar un funcional cuya derivada funcional tenga una forma determinada? Es decir, ¿existe algo parecido a la integración funcional?

Este es mi problema concreto. Quiero encontrar un $F(\rho)$ cuya derivada funcional es

$$\frac{\delta F}{\delta\rho}(x) = f((g\star\rho)(x)) $$

Ici $g\star\rho$ es la convolución de las funciones $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ y $\rho:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ . $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es alguna otra función (generalmente no lineal). Las funciones $f$ y $g$ se dan. Siéntase libre de asumir $f$ tiene tantas derivadas continuas como necesites, y que $f$ y $g$ puede integrarse analíticamente.

Si a alguien le interesa, esta pregunta surge de una estrategia para desarrollar un funcional de Lyapunov para un sistema de EDP no lineal. Una solución numérica sería suficiente para mis propósitos.

Gracias por cualquier idea.

Answer 1

Empiezo adoptando la estrategia que sugiere Radost en un comentario anterior: resolver el caso lineal en la base de Fourier. Esta es la respuesta que encuentro. El funcional

$$\mathscr{F}(\rho)=\frac{1}{2}(g\star\rho\star\rho_-)(0)+C$$

donde $\rho_-(x)\equiv\rho(-x)$ y $C$ es una constante de integración, tiene derivada funcional

$$\frac{\delta\mathscr{F}}{\delta\rho}=g\star\rho$$

Voy a empezar con varias suposiciones. No creo que ninguna de ellas sea esencial, pero es más fácil dar una respuesta concreta a una pregunta más específica (y resulta que coinciden con la aplicación que tengo en mente). En primer lugar, voy a suponer que todas las funciones se definen en $\mathbb{R}$ , pero periódica con periodo 1. Cada una de estas funciones periódicas $f$ tiene una serie de Fourier,

$$f(x)=\sum_{k\in2\pi\mathbb{Z}}\tilde{f}_k e^{i k x}$$

Las integrales serán generalmente de 0 a 1 si no especifico los límites. Así, defino la convolución como

$$(f\star g)(y)\equiv\int_0^1 f(x)g(y-x)dx$$

Es fácil verificar el Teorema de la Convolución con estas definiciones: $\left(\tilde{f\star g}\right)_k=\tilde{f}_k\tilde{g}_k$ . También defino un producto interno,

$$\left<f,g\right>\equiv\int f(x)^*g(x) dx$$

utilizando $f^*$ para el complejo conjugado. $\left<af,bg\right>=a^*b\left<f,g\right>$ y $\left<e^{i k x},e^{i j x}\right>=\delta_{kj}$ . La derivada funcional puede definirse como

$$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{\mathscr{F}(\rho+\epsilon\phi)-\mathscr{F}(\rho)}{\epsilon}=\left<\frac{\delta\mathscr{F}}{\delta\rho}^*,\phi\right>$$

También voy a suponer que $g$ , el núcleo de la convolución de abajo, es real y par, $g(x)=g(-x)\in\mathbb{R}$ , lo que implica $\tilde{g}_k=\tilde{g}_{-k}\in\mathbb{R}$ .

Bien, basta de carraspear. Ahora, vamos a tratar de encontrar un funcional $\mathscr{F}(\rho)$ cuya derivada funcional es $g\star\rho$ . Empezaré por encontrar $\mathscr{F}(\phi)$ , para $\phi(x)=a e^{ikx}+b e^{-ikx}$ , $a,b\in\mathbb{C}$ . Supongo que $\mathscr{F}(0)=0$ . (Esto sólo equivale a la elección de una constante de integración.) Empiezo en $\rho=0$ e integrar $d\mathscr{F}(\alpha\phi)d\alpha$ de $\alpha=0$ a 1. Al pasar de $\rho=\alpha\phi$ a $\rho=(\alpha+d\alpha)\phi$ Tengo

$$ \begin{align} d\mathscr{F}&=\left<g\star(\alpha\phi)^*,\phi d\alpha\right> \\ &=\left<\tilde{g}_k\alpha(a e^{ikx}+b e^{-ikx})^*,(a e^{ikx}+b e^{-ikx})d\alpha\right> \\ &=\tilde{g}_k(2ab)\alpha d\alpha \\ \mathscr{F}(\phi)=\int_{\alpha=0}^1d\mathscr{F}(\alpha) &=2ab\tilde{g}_k\int_0^1\alpha d\alpha \\ &=ab\tilde{g}_k \\ &=\sum_k\frac{1}{2}\tilde{g}_k\tilde{\phi}_k\tilde{\phi}_{-k} \end{align} $$

El factor de $\frac12$ está ahí porque el producto $ab$ aparece dos veces en la suma, una para $k$ y una vez para $-k$ . (Además, es intuitivo: esto es lo mismo $\frac12$ que aparece al integrar un lineal).

Ahora, supongamos que tengo $\phi_1(x)=a e^{ikx}+b e^{-ikx}$ y $\phi_2(x)=c e^{ijx}+d e^{-ijx}$ con $j\ne k$ . ¿Qué es? $\mathscr{F}(\phi_1+\phi_2)$ ? La respuesta es obvia, $\tilde{g}_k a b + \tilde{g}_j c d$ es correcto: tanto si se integra de 0 a $\phi_1$ entonces de $\phi_1$ a $\phi_1+\phi_2$ o de 0 a $\phi_2$ entonces de $\phi_2$ a $\phi_1+\phi_2$ o en diagonal de 0 a $\phi_1+\phi_2$ porque $\phi_1$ y $\phi_2$ son ortogonales. Así que esta es la respuesta:

$$\mathscr{F}(\rho)=\sum_k\frac{1}{2}\tilde{g}_k\tilde{\rho}_k\tilde{\rho}_{-k}$$

Eso es perfectamente funcional. Numéricamente, podría evaluarse fácilmente utilizando la FFT. Sin embargo, también es posible escribir $\mathscr{F}$ en términos de las funciones $g$ y $\rho$ de la siguiente manera. En primer lugar, se define la función $\rho_-$ por $\rho_-(x)\equiv\rho(-x)$ . Es fácil demostrar que $\tilde{(\rho_-)}_k=\tilde{\rho}_{-k}$ . Así, por el Teorema de la Convolución, $\tilde{g}_k\tilde{\rho}_k\tilde{\rho}_{-k}$ es el $k^{th}$ Coeficiente de Fourier de $g\star\rho\star\rho_-$ . Si se evalúa una función en 0, se obtiene la suma de todos sus coeficientes de Fourier. Por lo tanto,

$$\mathscr{F}(\rho)=\frac12\left(g\star\rho\star\rho_-\right)(0)$$

Señalaré que $(\rho\star\rho_-)(y)=\int\rho(x)\rho(x-y)dx$ es un objeto conocido: es la autocorrelación de $\rho$ .

Ahora vamos a intentar un par de comprobaciones de cordura. En primer lugar, dejemos que $g=\delta$ (la función delta de Dirac). Entonces $g\star\rho=\rho$ . Y sabemos lo que tiene de funcional $\rho$ como su derivado funcional: es simplemente $\int\frac{\rho^2(x)}{2}dx$ . Eso sí que se comprueba:

$$ \begin{align} \frac12g\star\rho\star\rho_-&=\frac12\delta\star\rho\star\rho_- \\ &=\frac12\rho\star\rho_- \\ (\frac12g\star\rho\star\rho_-)(0)&=\frac12(\rho\star\rho_-)(0) \\ &=\int\frac12\rho(x)\rho(x-0)dx \\ &=\int\frac{\rho^2(x)}{2}dx \space \checkmark \\ \end{align} $$

Ahora vamos a probar $\mathscr{F}$ en la base de la función delta

$$ \begin{align} \mathscr{F}(\rho+\epsilon\delta(x-y))-\mathscr{F}(\rho)&=\frac12\left(g\star\left((\rho+\epsilon\delta(x-y)\star(\rho_-+\epsilon\delta(-x-y))\right)\right)(0)-\frac12\left(g\star\rho\star\rho_-\right)(0) \\ &\approx\frac{\epsilon}{2}\left(g\star\left(\delta(x-y)\star\rho(-x)+\rho(x)\star\delta(-x-y)\right)\right)(0) \\ \frac{\mathscr{F}(\rho+\epsilon\delta(x-y))-\mathscr{F}}{\epsilon}&=\frac12\left(g\star(\rho(y-x)+\rho(y+x))\right)(0) \\ &=\frac12\left(\int\rho(y-x)g(0-x)dx + \int\rho(y+x)g(0-x)dx\right) \\ &=\frac12\left(\int\rho(y-x)g(x)dx + \int\rho(y-u)g(u)du\right) \\ &=(g\star\rho)(y) \space \checkmark \end{align} $$

En el penúltimo paso, utilicé la uniformidad de $g$ para sustituir $g(-x)$ con $g(x)$ . Y he sustituido $u=1-x$ en la segunda integral e intercambiamos los límites de integración.

Bien, creo que eso funciona para el caso lineal. ¿Y para el no lineal? Integrando $d\mathscr{F}(\alpha\rho)$ de $\alpha=0$ a 1 es fácil ver que si $(g\star\rho)^n$ tiene una antiderivada funcional, debe ser

$$ \begin{align} \mathscr{F}(\rho) & = \frac{1}{n+1}\sum_k\tilde{\left((g\star\rho)^n\right)}_k\tilde{\rho}_{-k} + C \\ & = \frac{1}{n+1}\left((g\star\rho)^n\star\rho_-\right)(0) + C \\ & = \frac{1}{n+1}\int(\left(g\star\rho)(x)\right)^n\rho(x)dx + C \end{align} $$ Quedan dos problemas (ambos realmente el mismo problema) con esto que todavía tengo que clavar. En primer lugar, sólo he demostrado que este resultado es el que se obtiene si se integra radialmente de 0 a $\rho$ . No he demostrado que la integral sea independiente de la trayectoria. La agradable ortogonalidad que facilitó esto para el caso lineal no tiene una contrapartida directa para $(g\star\rho)^n$ . En segundo lugar, aunque $\left<\left((g\star\rho)^n\right)^*,\epsilon\phi\right>$ da la información correcta $O(\epsilon)$ cambio en $\mathscr{F}(\rho+\epsilon\rho)$ quand $\phi=\rho$ no funciona para lo arbitrario $\phi$ . Es decir, $(g\star\rho)^n$ no tiene una antiderivada funcional para $n>1$ .

Esta es la derivada funcional de la función $\mathscr{F}$ que se acaba de describir:

$$ \frac{\delta\mathscr{F}}{\delta\rho}=\frac{1}{n+1}\left((g\star\rho)^n\right)+\frac{n}{n+1}\left(\left((g\star\rho)^{n-1}\rho\right)\star g\right) $$

El segundo término es el problema, por supuesto. La convolución de un producto no es el producto de las convoluciones, así que esto no se reduce a la derivada deseada $(g\star\rho)^n$ excepto en los casos especiales $g(x)=\delta(x)$ y $n=1$ . Sin embargo, algunos experimentos numéricos rápidos sugieren que $\mathscr{F}$ podría funcionar como una antiderivada funcional aproximada de $(g\star\rho)^n$ .

Si aceptamos que $\mathscr{F}=\frac{1}{n+1}\left((g\star\rho)^n\star\rho_-\right)(0)$ es una antiderivada funcional aproximada adecuada de $(g\star\rho)^n$ se deduce que si $f(\rho)$ tiene una serie de potencia convergente, y si $F(\rho)$ es una antiderivada de $f$ es decir $F^\prime(\rho)=f(\rho)$ entonces una antiderivada funcional aproximada de $f(g\star\rho)$ es $$ \mathscr{F}(\rho) = \left(\frac{F(g\star\rho)}{g\star\rho}\star\rho_-\right)(0) + C $$

Answer 2

He aquí una receta general para construir una antiderivada funcional.

Lemma: Integración radial.

Dejemos que $\mathscr{F}:C^1(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$ sea un funcional con derivada funcional $\delta\mathscr{F}(U)/\delta U(x)$ . $\mathscr{F}$ puede calcularse a partir de su derivada funcional como sigue, siempre que la integral exista

\begin{equation} \mathscr{F}(U) = \int_{r=0}^1\left( \int_\Omega \frac{\delta\mathscr{F}(rU)}{\delta U(x)}U(x)d x \right)d r + C, \end{equation}

donde $C$ es una constante de integración.

Prueba:

Arreglar un $U:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ y definir $\mathscr{f}_U:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ por

\begin{equation} \mathscr{f}_U(r) = \mathscr{F}(rU) \end{equation}

La derivada de $\mathscr{f}_U$ es

\begin{align} \frac{d\mathscr{f}_U(r)}{dr} &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\mathscr{f}_U(r+\epsilon) - \mathscr{f}_U(r)}{\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\mathscr{F}\left( (r+\epsilon)U \right) - \mathscr{F}(rU)}{\epsilon} \notag \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\mathscr{F}\left( rU+\epsilon U \right) - \mathscr{F}(rU)}{\epsilon} \notag \\ &= \int_\Omega \frac{\delta\mathscr{F}(rU)}{\delta U(x)}U(x)dx, \end{align}

utilizando la definición de la derivada funcional en el último paso. De ello se desprende que $\mathscr{f}_U(r)$ es una antiderivada de la función de $r$ definida por la integral final, es decir

\begin{equation} \mathscr{f}_U(R) = \int_{r=0}^R\left( \int_\Omega \frac{\delta\mathscr{F}(rU)}{\delta U(x)}U(x)dx \right)d r + C, \end{equation}

siempre que exista la integral. ( $C$ es una constante de integración). Por último, hay que tener en cuenta que por su definición $\mathscr{f}_U(1) = \mathscr{F}(U)$ y sustituirlo por $R = 1$ para obtener el resultado indicado. $\Box$

Este lema proporciona una prueba para la existencia de una antiderivada funcional. Dada una función $\mathscr{d}(U(x))$ , calcula la integral $\mathscr{F}(U) = \int_{r=0}^1 \left(\int_\Omega\mathscr{d}(rU)U(x)dx\right)d r$ . La función $\mathscr{d}$ puede no tener una antiderivada funcional, pero si la tiene, debe ser $\mathscr{F}$ (hasta una constante de integración). Para completar la prueba, encuentre la derivada funcional de $\mathscr{F}$ . Si $\delta\mathscr{F}(U)/\delta U(x) = \mathscr{d}(U(x))$ entonces $\mathscr{d}$ tiene una antiderivada funcional y es $\mathscr{F}$ . Sin embargo, si, $\delta\mathscr{F}(U)/\delta U(x)\ne\mathscr{d}(U(x))$ no hay antiderivada funcional de $\mathscr{d}$ existe. Esta prueba depende, por supuesto, de la existencia de la integral $\int_{r=0}^1 \left(\int_\Omega\mathscr{d}(rU)U(x)dx\right)d r$ pero la existencia de esta integral no dice nada, por sí misma, sobre si una antiderivada funcional de $\mathscr{d}$ existe.