Compacidad en la normativa espacios vectoriales.

Question

Deje $(X,\Vert\cdot\Vert)$ ser una normativa $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $A \subset X$ ser cerrado y acotado. Mi problema es cómo determinar si $A$ es compacto?

Yo sé que un subconjunto compacto es cerrado y acotado. Y que en $\mathbb{R}$ el converso tiene debido a Bolzano–Weierstraß.

Pero creo que me falta algo. ¿Existen subconjuntos en la normativa espacios vectoriales que son cerrados y acotados, pero no compacto?

Answer 1

Sí.

La equivalencia de "pacto" y "cerrado y acotado" sostiene sólo en lo finito-dimensional espacios.

En general, de dimensiones infinitas normativa espacio (por ejemplo, en el real escalares) completar en su norma (es decir, un infinito-dimensional espacio de Banach), para un conjunto para ser compacto, no es suficiente que ser cerrado y acotado. Debe ser cerrado y totalmente acotado.

Answer 2

Deje $c_{0}$ denotar el infinito-dimensional normativa espacio vectorial consta de secuencias que convergen a $0$. La norma en $c_{0}$ está dada por:

$$ \|(a_{1},a_{1},a_{3},\ldots)\|:=\sup_{k\in\mathbb{N}}|a_{k}|. $$

Deje $A$ denota el conjunto de todos los vectores en $c_{0}$ de la norma en la mayoría de uno. Claramente $A$ es limitado y es fácil mostrar que $A$ es cerrado. A ver que $A$ no es compacto, vamos, para cada una de las $x\in A$, $B_{1/2}(x):=\{y\in c_{0}:\|x-y\|<1/2\}$. A continuación, $\{B_{1/2}(x):x\in A\}$ es una cubierta abierta de a$A$. A ver que no tiene finita subcover, vamos, para cada una de las $k\in\mathbb{N}$, $e_{k}$ denotar la secuencia de $(0,\ldots,0,1,0,\ldots)$, donde el $1$ está en la posición $k$. Desde $\|e_{k}-e_{\ell}\|=1$ si $k\not=\ell$, se deduce que no hay dos dichos vectores pueden pertenecer a la misma $B_{1/2}(x)$ cualquier $x$.

Tenga en cuenta que, en general, un conjunto en un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Answer 3

Ejemplo. La unidad de la bola de $B$ en el espacio de Hilbert $l^2$. Es cerrado y acotado, pero no compacto. Deje que el ortonormales de la unidad de vectores de ser $e_n, n=1,2,3,\dots$. A continuación, la secuencia de $e_n$ es una secuencia en $B$, pero no tiene convergente larga. Esto es debido a que todas las distancias son $\|e_n-e_m\| = \sqrt{2}$ lo que en realidad no subsequence incluso es una secuencia de Cauchy.