La función de onda. La medición de la ausencia

Question

Imaginemos que tenemos una partícula en un eigenstate de un Hamiltoniano, como pasa el tiempo que permanecerá en ese estado.

Supongamos que en esta pregunta que la posición puede tomar un continuo de valores.

Si medimos la posición de la partícula en $x_0$ es la función de onda colapsa y la nueva función de onda $\psi(x,t_0) = \delta(x-x_0)$ que va a evolucionar en el tiempo como una superposición de estados propios del Hamiltoniano.

Ahora bien, si en lugar de medir la posición de la partícula, que está inicialmente en un eigenstate de la Hamiltoniana, que mide si la partícula está en un rango determinado $x\in[x_a, x_b]$ a $t_0$, donde la función de onda no es cero en este rango, y con $[x_a,x_b]$ diferente a toda la gama de $x$, y se encontró que la partícula no está allí. ¿La partícula de seguir en la misma eigenstate del Hamiltoniano? Porque ahora tenemos la certeza de que la función de onda en $t_0$ fue de cero en la región, debemos tomar otra función de onda que se cumple con este requisito? Supongo que sería bastante ingenuo tomar sólo la función de onda de la eigenstate de la Hamiltoniana nos tenía originalmente y hacen cero a través de la gama de $[x_a, x_b]$ y normalizar de nuevo y lo expresamos como una superposición de los estados propios del Hamiltoniano para el estudio de la evolución en el tiempo.

Gracias por sus respuestas!

Answer 1

¿La partícula de seguir en la misma eigenstate del Hamiltoniano?

No. Has realizado un binario de medición, es decir, a la pregunta "es la partícula en el intervalo de $[x_a,x_b]$?", con las respuestas "sí" y "no" correspondiente a la proyección de los operadores $$ \Pi_1 = \int_{x_a}^{x_b} |x\rangle\langle x | \,\mathrm dx $$ y $$ \Pi_0 = \mathbb I - \Pi_1 = \int_{-\infty}^{x_a} |x\rangle\langle x | \,\mathrm dx + \int_{x_b}^\infty |x\rangle\langle x | \,\mathrm dx. $$

Si la partícula se inicia en el eigenstate $|\psi_n\rangle$ de algunos de hamilton $H$, y a continuación, realizar dicha medición y obtener una respuesta negativa, entonces el estado del sistema evolucionará a $$ |\psi_n\rangle \mapsto \frac{1}{N}\Pi_0|\psi_n\rangle = \frac{1}{||\Pi_0|\psi_n\rangle||}\Pi_0|\psi_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{\langle \psi_n|\Pi_0|\psi_n\rangle}}\Pi_0|\psi_n\rangle $$ (con la última igualdad con el hecho de que $\Pi_0^2 = \Pi_0$). La partícula luego evolucionar de acuerdo a la anterior hamiltonianos $H$ ─ probablemente con algún tiempo de evolución, desde la $\Pi_0|\psi_n\rangle$ es probable que lejos de ser un eigenstate de $H$.