Pregunta de probabilidad de sacar bolas sin reemplazo de una bolsa

Question

Una bolsa contiene $N$ bolas, $2$ de los cuales son rojos. Se sacan las bolas, una a una, (sin reemplazo), deteniéndose cuando han salido las dos bolas rojas. Encuentre la probabilidad de que exactamente $n$ se retiran las bolas.

Sinceramente, no sé por dónde empezar. Sé que es una intersección de ( $1$ Bola roja en $n-1$ intentos) y (rojo en $n$ -enésimo intento).

Creo que el $Pr(\text{Red on}\;n\text{-th attempt}\; | \;1 \; \text{Red already})$ es $$ \frac{1}{N-(n-1)} $$ pero no estoy seguro de la otra probabilidad, o de si ésta es correcta.

Se agradecerá cualquier ayuda :)

Answer 1

Definitivamente estás en el buen camino. En la primera probabilidad, el orden no importa. Usted ha dibujado $n-1$ bolas, y una de ellas es roja. El número total de resultados es el número total de formas de sacar $n-1$ bolas de $N$ . El número de resultados que le interesan viene dado por:

$$\dbinom{2}{1}\dbinom{N-2}{n-2}$$

Por lo tanto, la probabilidad de que haya sacado exactamente una bola roja en la primera $n-1$ lo es:

$$\dfrac{\dbinom{2}{1}\dbinom{N-2}{n-2}}{\dbinom{N}{n-1}}$$

Ahora, multiplica por la probabilidad de que la última bola sea roja (has acertado):

$$\dfrac{1}{N-(n-1)}$$

Probabilidad final:

$$\dfrac{2(n-1)}{N(N-1)}$$

Answer 2

Este es otro enfoque, representado gráficamente a continuación para $N = 8$ .

Podemos construir una cuadrícula, en la que las ranuras equiprobables están representadas por cuadrados, indexados por la posición de la secuencia de las dos bolas rojas. Las X de la diagonal indican que las dos bolas rojas no pueden ocupar la misma posición de secuencia.

El resultado del experimento es el máximo de las dos posiciones; por ejemplo, los casos en que $n = 5$ están marcadas con un rojo $5$ . De ello se desprende que hay $2n-2$ diferentes casillas en las que el número de bolas extraídas es $n$ de un total de $N^2-N$ posibles plazas. Así, la probabilidad deseada es

$$ \frac{2n-2}{N^2-N} = \frac{2(n-1)}{N(N-1)} $$

como en la respuesta de InterstellarProbe.

Answer 3

Este es un problema en el que es más fácil condicionar el otros manera: calcular $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$ , donde $B$ es el caso de que aparezca una bola roja en el sorteo $n$ y $A$ es el caso de que una bola roja aparezca exactamente una vez en la primera $n-1$ sorteos.

La probabilidad $P(B)$ es igual a $2/N$ ya que en cualquier sorteo hay $2$ bolas rojas de un total de $N$ bolas que podrían ser recogidas.

La probabilidad condicional $P(A\mid B)$ es igual a $(n-1)/(N-1)$ ya que este es el mismo que el incondicional probabilidad de que cuando se alinea $N-1$ bolas, sólo un de los cuales es rojo, el rojo aparece en algún lugar de la primera $n-1$ posiciones.