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Los coches del parque al azar junto a una acera de longitud 100. Cada coche es de longitud 1. ¿Cuántos coches caben en promedio?

Estoy buscando una solución matemática a este problema, no una respuesta a través de una simulación.

Aclaración del problema: $x$ es un número al azar (no sólo números enteros) distribuidos de manera uniforme entre las $0$ e $99$ (el máximo es de $99$ debido a que el aparcamiento entre $99.1$ e $100.1$ es imposible). $\operatorname{car}_1$ toma el espacio entre las $x$ e $x+1$. $\operatorname{car}_2$ viene y parques en un lugar al azar entre $0$ e $x$ o en un lugar entre la $x+1$ e $99$, distribuidos de manera uniforme entre las ubicaciones disponibles. Esto continúa hasta que todos los espacios de estacionamiento a la izquierda son más pequeños de lo $1$.

En promedio, ¿cuántos coches se ajuste?

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Matthew Scouten Puntos 2518

Deje $f(r)$ ser el esperado número de coches que se estacionan en un intervalo de longitud de $r$. Considerando lo que sucede cuando el primer coche que viene, debemos tener $$ f(r) = \cases{ 0 & if $r < 1$\cr 1 + \frac{1}{r-1} \int_0^{i-1} ds\; (f(s) + f(r-1-s))\cr \ = 1 + \frac{2}{r-1} \int_0^{i-1} ds \; f(s) y en caso contrario}$$ Así:

Si $1 \le r < 2$, $f(r) = 1$.

Si $2 \le r < 3$, $f(r) = 1 + \frac{2 (r-2)}{r-1} = 3 - \frac{2}{r-1} $.

etc.

Desafortunadamente, por el momento en que llegamos a $6 < r < 7$, el de las integrales no se puede hacer en forma cerrada.

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