Un conjunto como gráfico de una función

Question

La esfera de la unidad $n$ es el conjunto $$\mathbb{S}^n=\bigg\{(x_1,x_2,\dots, x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\;|\;\big(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{n+1}^2\big)^{1/2}=1\bigg\}.$$ Para todos $i=1,\dots, n+1$ denotar con $U_i^+$ el subconjunto de $\mathbb{R}^{n+1}$ así se define $$U_i^+=\bigg\{\big(x_1,x_2,\dots, x_{n+1}\big)\in\mathbb{R}^{n+1}\;|\; x_i>0\big)\bigg\}.$$

Consideramos la función continua $f\colon\mathbb{B}^n\to \mathbb{R}$ así se define $u\mapsto\sqrt{1-\lvert u\rvert^2}$ . Entonces, para todos los $i=1,\dots, n+1$ , $U_i^+\cap \mathbb{S}^n$ es la gráfica de la función $$x_i=f(x_1, x_2,\dots, x_{i-1},x_{i+i},\dots, x_{n+1}).$$

Demostremos explícitamente lo que se acaba de decir.

En los símbolos, señalar con $\hat{x}=(x_1,\dots, x_{i-1}, x_{i+1},\dots, x_{n+1})$ para todos $i=1,\dots, n+1$ tenemos $$U_i^+\cap \mathbb{S}^n=\bigg\{x=(\hat{x}, x_i)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\;|\; \hat{x}\in\mathbb{B}^n,x_i=f(\hat{x})\bigg\}.$$ De hecho, si $x\in U_i^+\cap \mathbb{S}^n$ entonces $x_i>0$ y $\lvert x \rvert =1$ En $U_i^+$ puede resolver la ecuación $\lvert x \rvert=1$ respecto a $x_i$ entonces tenemos $$x_i=\sqrt{1-(x_1)^2- \cdots -(x_{i-1})^2-(x_{i+1})^2- \cdots - (x_{n+1})^2}.$$ Si consideramos el vector $\hat{x}=(x_1, x_2,\dots, x_{i+1}, x_{i+1}, \dots, x_{n+1})$ tenemos $\lvert \hat{x} \rvert <1$ entonces $\hat{x}\in\mathbb{B}^n$ Por lo tanto $x=(\hat{x}, x_i)\in U_i^+\cap\mathbb{S}^n$ . Y viceversa, si $x=(\hat{x}, x_i)\in U_i^+\cap \mathbb{S}^n$ entonces $\hat{x}\in\mathbb{B}^n$ y $x_i=\sqrt{1-\lvert \hat{x} \rvert}>0$ Además $\lvert x \rvert=1$ Por lo tanto $x\in\mathbb{S}^n$

Pregunta. ¿Es mi razonamiento formalmente correcto?

Answer 1

Creo que su libro utiliza una notación extraña, y posiblemente esté equivocado. El gráfico $\Gamma_f$ de $f: A \longrightarrow B$ se define como el subconjunto de $A \times B$ dado por $\Gamma_f = \{(a,b) \in A\times B\mid b = f(a)\}$ .

La ecuación $x_i = f(x_1,x_2,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n, x_{n+1})$ no es una función y por lo tanto no tiene una gráfica, pero implícitamente define un subconjunto $S_i$ de $\Bbb R^{n+1}$ a través de

$$S_i = \left\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\Bbb R^{n+1}\,\middle|\, x_i = f(x_1,x_2,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n, x_{n+1})\right\}.$$

Además, como he señalado en los comentarios, el libro parece estar equivocado. Hay puntos en $S_i$ cuyo $i$ -las coordenadas es $0$ .
De hecho, si $H_i\subset R^{n+1}$ es el hiperplano $\left\{(x_1,\dots,x_{n+1})\in\Bbb R^{n+1}\,\middle|\, x_i =0\right\}$ , entonces cualquier $p\in H_i \cap \Bbb S^n$ satisface la ecuación $x_i = f(x_1,x_2,\dots,\hat{x_i},\dots,x_n, x_{n+1})$ y por lo tanto se encuentra en $S_i$ .
No hay tal $p$ sin embargo, se encuentra en $U_i^+$ Por lo tanto, la afirmación que hace el libro no puede ser correcta.