Hay "muy interesante" teoremas de la aritmética de Peano, que sólo utilice la operación de adición?

Question

Más precisamente, hay "muy interesante" teoremas de la aritmética de Presburger, salvo en los siguientes cuatro conocidos "interesante"?

1. La conmutatividad de la suma.

2. El teorema indicando que no hay dos números pares consecutivos.

3. El teorema que indica que cada número natural es par o es seguido por una sucesor (junto con análogos de teoremas sobre una suma de más de dos idénticos números naturales, por ejemplo, el teorema que indica que cada número natural que no suma de a tres idénticos números naturales - es seguido por un sucesor que es una suma o es seguido por un sucesor que es una suma).

4. $\forall(a,c)\exists(b)[(a+b=c)\lor (c+b=a)]$

Para nuestros propósitos, por un "aditivo" el teorema de ser "interesante" suficiente: 1) debe de tener un significado intuitivo [como la de los teoremas he mencionado como ejemplos]; 2) la prueba debe basarse en la inducción; 3) no debe ser un intuitiva de que la generalización de cualquier axioma [por ejemplo, el axioma x+(y+1)=(x+y)+1, que puede ser visto como un caso especial en donde z=1, intuitivamente generalizada para todos los z - como el teorema de la asociatividad de la suma: x+(y+z)=(x+y)+z].

Answer 1

Fijo relativamente primer enteros $m$ e $n$, el hecho de que un número divisible por ambos de ellos es divisible por que su producto es expresable en la aritmética de Presburger. El caso de $m=2$, $n=3$:

$$\forall x[(\exists y)(y+y=x)\land(\exists y)(y+y+y=x)\to(\exists y)(y+y+y+y+y+y=x)]$$

Answer 2

La asociatividad de la suma es uno de los candidatos. El recuerdo de la definición de la suma que \begin{align} a+0 &=a & \text{A1} \\ a+S(b) &=S(a+b) & \text{A2} \end{align}

Teorema: $(a+b)+c = a+(b+c)$

Prueba: Vamos a $\phi(c)$ denotar la proposición de que $(a+b)+c = a+(b+c)$. Proceder por inducción en $c$.

Caso Base: Vamos a $c=0$. Entonces \begin{align} (a+b)+c &= (a+b)+0 && \text{A1} \\ &= a+b \\ &= a+(b+0) && \text{A1} \\ &= a+(b+c) \end{align}

Por lo tanto, $\phi(0)$.

Inductivo paso: Supongamos $(a+b)+c = a+(b+c)$. Entonces \begin{align} (a+b)+S(c) &= S((a+b)+c) && \text{A2} \\ &= S(a+(b+c)) && \text{inductive hypothesis} \\ &= a+S(b+c) && \text{A2} \\ &= a+(b+S(c)) && \text{A2} \end{align}

Por lo tanto, $\phi(c) \rightarrow \phi(c+1)$ para todos los $c \in \mathbb{N}$.

Por el axioma esquema de inducción, $\phi(c)$ para todos los $c \in \mathbb{N}$. Esto demuestra que $(\mathbb{N}, +)$ es un semigroup. Junto con la prueba de que 0 es una izquierda de identidad (además de ser un derecho de identidad como se indica en el apartado A1), esto demuestra que $(\mathbb{N}, +)$ es un monoid.

Answer 3

La Aritmética de Presburger puede expresar $x\equiv y\pmod n$ fijos $n$, por lo que podemos afirmar instancias del Teorema del Resto Chino para la renta fija de los módulos, tales como

Para todos los $a$ e $b$ hay un $x$ tal que $x\equiv a\pmod{7}$ e $x\equiv b\pmod{8}$.

Desde esta afirmación puede ser expresado y es cierto, en $\mathbb N$, la Aritmética de Presburger, ser completa, debe ser capaz de demostrarlo.