Funciones continuas en un conjunto compacto

Question

Considere la siguiente afirmación:

Dejemos que $K$ sea un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ , donde $n\geq1$ . Entonces, si $K$ es compacta, entonces toda función continua de valor real definida en $K$ está acotado.

Aquí están mis preguntas :

• ¿Es el converse ¿es cierto? (Si toda función continua de valor real definida en $K \subset \mathbb R^n$ está acotado, entonces $K$ es compacto)

Edición: De acuerdo con las respuestas, me gustaría añadir la siguiente pregunta:

¿Es cierta la afirmación anterior para cada ¿espacio topológico?

Answer 1

En ${\bf R}^n$ , compacto significa cerrado y acotado. Si $K$ no está fundido, entonces $\sum|x_i|$ es una función continua no limitada en $K$ . Si $K$ no está cerrado, dejemos que $a$ sea un punto límite de $K$ no en $K$ entonces el recíproco de la distancia a $a$ es continua en $K$ y no acotado.

Answer 2

Como han señalado otros: la propiedad de que todo valor real (o equivalentemente $\mathbb{R}^n$ -) en una función continua sobre $X$ está acotado se llama pseudocompacidad . Está estrechamente relacionada con otras nociones: compacidad contable (toda cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita) y compacidad secuencial (toda secuencia tiene una subsecuencia convergente).

Para los espacios generales ninguno de ellos es equivalente a la compacidad o entre sí, incluso para los espacios de Tychonoff. Sin embargo, para los espacios métricos todos son equivalentes a la compacidad. En general (digamos para los espacios de Tychonoff) sólo que la compacidad secuencial implica la compacidad contable, que a su vez implica la pseudocompacticidad, y la compacidad implica la compacidad contable (pero no la compacidad secuencial).

Para los espacios normales, pseudocompacto implica contablemente compacto. Para los primeros espacios contables, contablemente compacto implica secuencialmente compacto. (Son posibles teoremas más generales).

Como señaló G. Edgar, $[0, \omega_1)$ es un ejemplo clásico de un espacio secuencialmente compacto (y, por tanto, contablemente compacto y pseudocompacto) que es muy agradable: primero contable y también hereditariamente normal.

Otro ejemplo famoso (en topología) es el espacio Psi de Mrowka: considere una familia MAD $\cal{A}$ en $\mathbb{N}$ (una subfamilia máxima (con respecto a la inclusión) de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ tal que cualquier par de ellos se cruza en un conjunto finito). A continuación, se define un espacio $X = \mathbb{N} \cup \{x_A \mid A \in \cal{A} \}$ y una topología en $X$ declarando todos los puntos de $\mathbb{N}$ aislado, y un barrio básico de $x_A$ , $A \in \cal{A}$ es $A\setminus F$ , donde $F \subset A$ es finito. Así que los puntos de $A \in \cal{A}$ convergen a su $x_A$ y los conjuntos finitos que dejamos fuera garantizan la Hausdorffidad (y por lo tanto Tychonov, ya que todos los conjuntos abiertos básicos son clopen, y también compactos). El subconjunto $\{ x_A \mid A \in \cal{A} \}$ de $X$ es infinito y discreto, por lo que $X$ no es contablemente compacto mientras que la maximalidad de $\cal{A}$ garantiza que $X$ es pseudocompacto. De ello se desprende que $X$ no es normal (esto también se deduce del lema de Jones), y es un ejemplo de espacio pseudocompacto localmente compacto de Hausdorff, no normal, que no es contablemente compacto (por lo que a fortiori no es compacto).

editar: referencia original para el espacio Psi

Answer 3

Espacio de Hausdorff $X = [0,\omega_1)$ con la topología de orden es pseudocompacta. Es decir: toda función continua de valor real sobre $X$ está acotado.

Answer 4

Dejemos que $X$ sea el espacio topológico cuyos puntos son los números naturales, con topología generada por los conjuntos $\{0,n\}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Entonces $X$ no es compacta, pero toda función continua $X\to\mathbb{R}$ es constante.