$n\#$ ($n$th primorial) parece muy cerca de $e[(n-1)^n - n^{n-1}]$

Question

Vamos $$n\# := P(n) P(n-1) \cdots P(2) P(1) ,$$ where $P(1)$ is the smallest prime, $2$, $P(2) = 3$, and so on. Then, as an example of what is claimed in the above title, $$P(11) = 200\,560\,490\,130, \qquad \textrm{and} \qquad 10^{11}-11^{10}=74\,062\,575\,399,$$ which is very close to $1/e$ veces el primer número. ¿Esto continúe?

Si es así, apuesto a que ya es conocido, pero me gustaría saber dónde encontrarlo. Puede haber una conexión con la función de Chebyshev en la Wikipedia, pero que parece más similar a la de $e^{P(n)}$.

Answer 1

Para simplificar la expresión,

$\begin{array}\\ e[(n-1)^n - n^{n-1}] &=en^{n-1}[(n-1)(1-1/n)^n - 1]\\ &=en^{n-1}[(n-1)(\frac1{e}-\frac1{2en}+O(\frac1{n^2}) - 1]\\ &=en^{n-1}[\frac{n}{e}-\frac1{2e}+O(\frac1{n})-\frac1{e}+O(\frac1{n}) - 1]\\ &=en^{n-1}[\frac{n}{e}-\frac{3}{2e}-1+O(\frac1{n})]\\ &=n^{n}-n^{n-1}(\frac32+e)+O(n^{n-2})\\ \end{array} $

De acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Primorial, $n\# = e^{n(1+o(1))} $, que no coincide con su expresión.

Sin embargo, la definición estándar de $n\#$ es el producto los números primos hasta $n$.

Su definición es el producto de la primera $n$números primos. Desde la $n$-th primer es acerca de $n\ln(n)$, esto le da $e^{(1+o(1))n\ln(n)} =(e^{\ln(n)})^{(1+o(1))n} =n^{(1+o(1))n} $ y esto no coincide con su expresión.

Tenga en cuenta que $n^n$ funcionaría igual de bien, desde $n^{n-1} = o(n^n) $ y $e(n-1)^n =es^n(1-1/n)^n =n^n(1+o(1)) $.