La convexidad de $|A^TA|$

Question

Suponga $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ es $m$ por $n$ matriz. Deje $|\cdot|$ denotar la norma de Frobenius de la matriz. Definir la función $f:\mathbb{R}^{m\times n}\to\mathbb{R}$ como $f(A):=|A^TA|$. Es $f$ una función convexa?

Intuitivamente, creo que esta función es una composición de una norma y algo con cuadrática de la estructura, y por lo tanto debe ser convexo.

Para probar esto, $f(tA+(1-t)B)=|t^2A^TA+t(1-t)(A^TB+B^TA)+(1-t)^2B^TB|\le t^2|A^TA|+(1-t)^2|B^TB|+t(1-t)|A^TB+B^TA|$.

Si $|A^TB+B^TA|\le|A^TA|+|B^TB|$, entonces tenemos la convexidad. Es esta desigualdad verdadera?

Answer 1

Tenemos $$ |^\La parte superior B|^2 = \operatorname{trace}(B^\la parte superior de Una A^\la parte superior B) = \operatorname{trace}(B, B^\la parte superior de Una A^\top) = (B, B^\la parte superior, Una A^\la parte superior)_F \le |B, B^\top| \, |Un A^\top| = |B^\la parte superior B|\, |^\top A|.$$

Por tanto, tenemos $$|A^\top B + B^\top A| \le |A^\top B| + |B^\top A| \le 2 \, |B^\top B|^{1/2} \, |A^\top A|^{1/2} \le |A^\top A| + |B^\top B|.$$