Cómo solucionarlo $3<x^2-4<x+1$

Question

Resolver para, x $$3<x^2-4<x+1 $$

Intento:

$$7<x^2<x+5 $$ Esto es difícil.

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Resolviendo esta ecuación $$3x-3<6$$ es fácil.

$$3x<9$$

$$x<3$$

Answer 1

Sugerencia $\:$ Tome las desigualdades por separado

$$7<x^2\iff \sqrt {7}<|x|\iff x\in (-\infty, -\sqrt 7)\cup(\sqrt7, \infty) $$

$$x^2<x+5\iff x^2-x-5<0$$ Esto es como considerar la parábola $p:\; y=x^2-x-5$ (abierto hacia arriba) y calculando sus ceros que son el intervalo donde la desigualdad es válida. Por lo tanto $$x\in\bigg(\frac{1-\sqrt{21}}{2},\frac{1+\sqrt{21}}{2}\bigg)$$ ¿Puedes terminar ya? Tengo

$$x\in\bigg(\sqrt7,\frac{1+\sqrt{21}}{2}\bigg)$$

Answer 2

Puede ver que $3 < x^2 - 4 < x+1$ es igual a $x | 3< x^2 - 4 \cap x | x^2 -4 < x+1 $ y resolver para cada conjunto

$3 < x^2-4 \leftrightarrow 7 < x^2 \leftrightarrow \sqrt{7} < | x | \leftrightarrow x \in ( - \infty , - \sqrt{7}) \cup ( \sqrt{7} , \infty )$

$ x^2 - 4 < x+1 \leftrightarrow x^2 - 4-(x+1)<0 \leftrightarrow x^2 - x - 5 < 0 \leftrightarrow (x-\frac{1- \sqrt{21}}{ 2 })(x-\frac{1+ \sqrt{21} }{ 2 }) < 0 \leftrightarrow x \in (\frac{1- \sqrt{21}}{ 2 }, \frac{1+ \sqrt{21} }{ 2 })$

Puedes intersecar ambos conjuntos de soluciones y obtener la solución de tu problema.