El disparo de un club es Baire

Question

Estoy tratando este problema de Kunen:

Estoy tratando de hacerlo mediante una combinatoria argumento. Es decir, vamos a $C$ el conjunto de contables de los números ordinales para las que no existe un $\omega$-de la cadena. Quiero ver ese $C$ es el club. El hecho de que $C$ es ilimitado es fácil. Estoy atascado en la comprobación de que está cerrado. Basta considerar el caso de $D_0\supset D_1\supset\dots$.

Si $\gamma$ es un punto límite de $C$, se puede elegir un aumento de la secuencia de $\langle\gamma_k:n<\omega\rangle$ que converge a $\gamma$, con cada una de las $\gamma_k\in C$. De modo que podemos elegir $\langle p_n^k:k<\omega\rangle$ presenciando $\gamma_k\in C$. Traté de extraer alguna consecuencia por una diagonal proceso, pero el problema es que, en el paso de $p_n^k$ a $p_m^{k+1}$, la posterior necesidad no de fin de extender el primero, que es parte de los requerimientos. Y no podemos descuido de aplicar la densidad de la $D_n$ porque podríamos añadir conjuntos cuyo máximo está por encima de $\gamma$.

Answer 1

Sospecho que usted está malinterpretando la sugerencia, que dice que usted necesita para producir un club en particular con la propiedad requerida, no es que el club a considerar es definido por la propiedad.

En particular, puede ser beneficioso en lugar de mostrar que el conjunto de $X$ de todos los $\delta\in \omega_1$ que son el límite de puntos de $S$ y para la cual existe una contables $A\subset \mathbb{P}_S$ tales que

1. $(A,\le)$ es atomless con $p \in A$,

2. Para cada una de las $n\in \omega$, $A\cap D_n$ es relativamente densa en $A$,

3. Para cada $q \in A$ e $\alpha \in \delta \cap S$, $q\cap \alpha \cup \{ \alpha \} \in A$, y

4. $\{\max(q): q\in A\} \subset \delta$.

contiene un club.