Es este el teorema de la Divergencia?

Question

Deje $M$ ser un equipo compacto liso colector, orientado, sin límite. Deje $u$ ser un liso $\mathbb{R}$valores de la función en $M$. Estoy trabajando a través de un cálculo que afirma que $$\int_M \Delta e^{-u} dV =0.$$ me parece que no puede justificar esto, sin embargo. Creo que es el teorema de la divergencia, pero no se puede argumentar que es rigurosamente.

Este es, sin duda, un problema sencillo, pero se me escapa por el momento.

Answer 1

Sí, este es el teorema de la divergencia, que pueden ser aplicadas por la compacidad de $M$. Si $X$ es cualquier vector de campo, a continuación, $({\rm div}\,X){\rm d}V = {\rm d}(\iota_X({\rm d}V))$ y el hecho de que $\partial M=\varnothing$ nos permite el uso de Stokes teorema a la conclusión de que $$\int_M ({\rm div}\,X)\,{\rm d}V = 0.$$In particular, if $f\colon M \a \Bbb R$ is any smooth function, we have $$\int_M \triangle f\,{\rm d}V = \int_M {\rm div}(\nabla f)\,{\rm d}V = 0,$$by the above. For you, $f = e^{-u}$.