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Si $f$ es en el lapso de funciones propias, a continuación, $|f|$ es también en el lapso de funciones propias.

Deje $(X,\mathscr{B},\mu,T)$ ser una medida de preservación de la dinámica del sistema. A continuación, $U_T:L^2(X,\mu)\rightarrow L^2(X,\mu)$ definido por $U_Tf=f\circ T$ es una isometría. Deje $\mathscr{E}$ ser el espacio propio(cerrado) de $U_T$.

Problema: Si $f$ es de $\mathscr{E}$, a continuación muestran que la $|f|$ es también en $\mathscr{E}$.

Tal vez una posible pista. El problema anterior se resuelve si podemos probar que $L^\infty(X)\cap \mathscr{E}$ es denso en $\mathscr{E}$. Ver la discusión antes de que la Proposición 4.19.

Este resultado es esencialmente utilizado para demostrar el Lema 4.23 de la Recurrencia en Ergodic Teoría Combinatoria y Teoría de números por Furstenberg, pero no soy capaz de decodificar el argumento de que allí se indican.

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Tyr Puntos 101

Supongamos que $U_T f = \lambda f$ para algunos autovalor $\lambda$. Desde $U_T$ es una isometría, nuestra única posible autovalores son $\pm 1$ (ya que de lo contrario, $\Vert U_T f \Vert = | \lambda | \Vert f \Vert \neq \Vert f \Vert$).

Si $\lambda = 1$, $U_T |f| = |f \circ T|= |f|$, lo $|f|$ está en el subespacio propio con autovalor 1. Del mismo modo, si $\lambda = -1$, $U_T |f| = |f \circ T | = |-f| = |f|$, así que de nuevo $|f|$ está en el subespacio propio con autovalor 1.

EDIT. Esta no es una respuesta, véase el comentario de abajo.

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