Deje $(X,\mathscr{B},\mu,T)$ ser una medida de preservación de la dinámica del sistema. A continuación, $U_T:L^2(X,\mu)\rightarrow L^2(X,\mu)$ definido por $U_Tf=f\circ T$ es una isometría. Deje $\mathscr{E}$ ser el espacio propio(cerrado) de $U_T$.
Problema: Si $f$ es de $\mathscr{E}$, a continuación muestran que la $|f|$ es también en $\mathscr{E}$.
Tal vez una posible pista. El problema anterior se resuelve si podemos probar que $L^\infty(X)\cap \mathscr{E}$ es denso en $\mathscr{E}$. Ver la discusión antes de que la Proposición 4.19.
Este resultado es esencialmente utilizado para demostrar el Lema 4.23 de la Recurrencia en Ergodic Teoría Combinatoria y Teoría de números por Furstenberg, pero no soy capaz de decodificar el argumento de que allí se indican.