Una forma conveniente de visualizar lo que está pasando es uno de los modelos estándar del plano proyectivo.
Añadiendo una tercera coordenada de $1$ estás identificando el plano euclidiano $\mathbb R^2$ con el plano $z=1$ en $\mathbb R^3$ . Todavía no hay nada especial. Sin embargo, estas coordenadas son homogéneo para cualquier $k\ne0$ , $(x,y,1)$ y $(kx,ky,k)$ representan el mismo punto.† En términos de este $z=1$ modelo de plano, lo que hemos hecho es identificar un punto en $\mathbb R^2$ con la línea que pasa por el origen y el punto correspondiente en el $z=1$ avión en $\mathbb R^3$ . (En realidad, omitimos el origen y trabajamos en $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ pero eso no es crítico para los conceptos aquí expuestos). Las coordenadas homogéneas de un punto son, por tanto, vectores de dirección de la recta correspondiente.
Consideremos ahora una línea en $\mathbb R^2$ . Esto corresponde a una línea de nuestro $z=1$ plano de referencia, y la unión de todas las rectas que pasan por el origen y los puntos de esta recta forman un plano $\mathbf\pi$ a través del origen. Existe una única recta que pasa por el origen y es perpendicular a $\mathbf\pi$ por lo que podemos identificar el plano con el conjunto de vectores de dirección de esta perpendicular única, es decir, con los vectores normales a $\mathbf\pi$ . El resultado es que podemos asignar un único conjunto de coordenadas homogéneas a cada línea en $\mathbb R^2$ . Además, si tenemos dos vectores cualesquiera linealmente independientes $\mathbf p$ y $\mathbf q$ en $\mathbf\pi$ , $\mathbf p\times\mathbf q$ es normal que $\mathbf\pi$ es decir, podemos obtener las coordenadas homogéneas de una recta calculando el producto cruz de cualquier coordenada homogénea de un par de puntos distintos de la recta.
Del mismo modo, las coordenadas homogéneas de intersección de dos líneas en $\mathbb R^2$ se puede hallar calculando el producto cruzado de las coordenadas homogéneas de las dos líneas: Dos planos distintos que pasan por el origen en $\mathbb R^3$ se cruzan en una línea que pasa por el origen y es perpendicular a las normales de ambos planos. (Éste es un ejemplo de dualidad punto-línea en el plano proyectivo).
¿Qué ocurre si las líneas de $\mathbb R^2$ que estos planos representan son paralelos? Debería ser fácil ver que su intersección se encuentra en el plano $x$ - $y$ plano-los vectores de dirección de esta línea de intersección tienen todos un $0$ $z$ -coordenada. Sin embargo, estas líneas son objetos perfectamente sensatos en nuestro modelo. Sólo parecen especiales porque son paralelas a nuestro plano incrustado. Del mismo modo que los números complejos eran útiles como resultados intermedios al encontrar raíces reales de cúbicos, estas líneas "extra" son resultados intermedios útiles en cálculos geométricos. Por ejemplo, para hallar la recta que pasa por un punto $\mathbf p$ que es paralela a nuestras dos líneas paralelas $\mathbf l_1$ y $\mathbf l_2$ sólo tenemos que calcular $\mathbf p\times(\mathbf l_1\times\mathbf l_2)$ . No hay ninguna razón en particular para tratar estas líneas de manera diferente a las líneas que pasan por el $z=1$ plano, así que los convertimos en ciudadanos de primera clase añadiendo un "punto en el infinito" a $\mathbb R^2$ para cada uno de ellos. Para completar, también añadimos una "línea en el infinito", representada en $\mathbb R^3$ por el avión $z=0$ (es decir, con coordenadas homogéneas $(0,0,1)$ ), que contiene todos estos nuevos puntos. Cada uno de estos puntos es la intersección común de una familia de rectas paralelas en $\mathbb R^2$ . En cierto sentido, pues, los puntos en el infinito representan direcciones en $\mathbb R^2$ .
El resultado de todo esto es que cuando se calcula la intersección de dos líneas en $\mathbb R^2$ tomando el producto cruz de sus coordenadas homogéneas, si la tercera coordenada del resultado es $0$ entonces las rectas son paralelas. Esto también tiene sentido desde un punto de vista puramente mecánico: para "deshomogeneizar" el resultado, hay que dividir a través por la tercera coordenada, pero es cero el resultado es indefinido, no hay ningún punto finito que sea la intersección de las dos líneas.
¿Qué hace que el $z$ -coordinar especial aquí es la elección que hicimos cuando incrustamos $\mathbb R^2$ en $\mathbb R^3$ como el $z=1$ avión. Esto hizo que el $z$ -coordenada el "extra" en las coordenadas homogéneas de un punto. También podríamos haber utilizado la $x=1$ avión en su lugar, lo que habría hecho que el $x$ -coordinar el "extra" (de hecho, lo verás en algunas fuentes). Para el caso, podríamos haber elegido cualquier plano que no pasa por el origen de la incrustación. Los puntos en el infinito seguirían siendo líneas paralelas al plano, pero identificarlos a partir de sus vectores de dirección es menos conveniente que comprobar un único valor para cero.
† En efecto, realmente nos importa el ratios entre las coordenadas, por lo que a veces verá coordenadas homogéneas escritas como $x:y:z$ .
