De forma heurística falsas conjeturas

Question

Yo estaba muy sorprendido cuando vi por primera vez la conjetura de Mertens. Definir

$$ M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k) $$

La conjetura de Mertens fue de us $|M(n)| < \sqrt{n}$ para $n>1$, en contraste con la Hipótesis de Riemann, que es equivalente a $M(n) = O(n^{\frac12 + \epsilon})$ .

La razón por la que he encontrado esta conjetura sorprendente es que falla de forma heurística si usted asume la función de Möbius es al azar $\pm1$ o $0$. El análogo de falla con una probabilidad de 1 $$ por un azar de $-1,0,1$ secuencia en la que el cero términos de densidad positiva. La ley del logaritmo iterado sugiere que los contraejemplos son grandes, pero ocurren con probabilidad 1. Así, no parece sorprendente que es falso, y que la primera contraejemplos son demasiado grandes.

Hay muchos heurística puede utilizar la conjetura de que los dígitos de $\pi$, la distribución de los números primos, los ceros de $\zeta$ etc. parecer al azar. Creo matriz aleatoria de la teoría en la física comenzó cuando la gente le preguntó si las propiedades del concreto de alta dimensión matrices especiales o sólo lo que usted esperaría de matrices aleatorias. A veces el derecho aleatorio modelo no es obvio, y no es claro para mí cuando para decir que una heurística es razonable.

Por otro lado, si la conjetura de que todos los que surge naturalmente trascendentales han simple fracciones continuas que aparecen al azar, entonces usted podría estar equivocado, desde $e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,...,1,1,2 n,...] de dólares, y un par de números en forma algebraica relacionados con la $e$ similares simple continuación de la fracción de expansiones.

¿Qué otras conjeturas plausibles o se ha demostrado que los resultados pueden ser enmarcados como de forma heurística falso de acuerdo a una probabilidad razonable de modelo?

Answer 1

Esto es bastante elemental, pero me sorprendió cuando vi por primera vez, y creo que es notable.

El número de pares de enteros $(x, y)$ tal que $x^2 + y^2 \leq n$ es asintóticamente $\pi$ n, ya que son el entramado de puntos dentro de un círculo de radio $\sqrt{n}$. Por lo tanto, el promedio de número de maneras de escribir un entero positivo, como una suma de dos cuadrados es de $\pi$. O $\pi/8$ si consideramos que soluciones como la misma cuando ellos sólo se diferencian de los signos o el orden de los términos.

Uno podría esperar positivos proporción de los números naturales para tener una representación como una suma de dos cuadrados. No es un $\pi/8$-fracción, ya que algunos enteros tienen varias representaciones, pero algunos ligeramente menor densidad positiva, ya que las identidades como $4^2 + 7^2 = 1^2 + 8^2$ parecen mucho coincidencias aleatorias.

Pero en realidad casi no hay números son sumas de dos cuadrados. Cuando la factorización prima de $n$ contiene algunos de los mejores $p\equiv 3$ (mod 4) a un extraño poder, $n$ no puede ser una suma de dos cuadrados, como se ve fácilmente teniendo en cuenta la ecuación módulo poderes de $p$. Y por Dirichlet del teorema, casi todos los números tienen algunos tan importante para la alimentación 1 en su factorización.

Answer 2

Sólo tiene que ejecutar a través de esta pregunta, y estoy sorprendido de que en el primer ejemplo que vino a la mente fue que no se mencionan:

Fermat "Último Teorema" de forma heurística es cierto para $n > 3$, pero de forma heurística falsa para $n=3$, que es uno de los más fáciles los casos de probar.

si $0 < x \leq y < z \in (M/2,M]$ entonces $|x^n + y^n - z^n| < M^n$. Existen alrededor de $cM^3$ candidatos $(x,y,z)$ en este rango para algunos $c>0$, tal como sucede en $c=7/48$), la producción de valores de $\Delta := x^n+y^n-z^n$ repartidos en el intervalo $(-M^n,M^n)$ de acuerdo a algunos fijos de distribución $w_n(r) dr$ en $(-1,1)$ escalado por un factor $M^n$ (es decir, para cualquier $r_1,r_2$ con $-1 \leq r_1 \leq r_2 \leq 1$ la fracción de $\Delta$ valores $(r_1 M^n, r_2 M^n)$ enfoques $\int_{r_1}^{r_2} w_n(r) dr$ como $M \rightarrow \infty$).

Esto sugiere que cualquier valor de $\Delta$, tales como $0$, va a surgir alrededor de $c w_n(0) M^{3-n}$ veces. Tomando $M=2^k=2,4,8,16,\ldots$ y sumando más de enteros positivos $k$ produce un rápido divergentes suma para $n<3$, apenas divergentes uno para $n=3$, y rápidamente convergente suma de $n>3$.

En concreto, se espera que el número de soluciones de $x^n+y^n=z^n$ con $z \leq M$ crecer $M^{3-n}$ para $n<3$ (lo cual es cierto y fácil), para crecer como $\log M$ para $n=3$ (lo cual es falso), y para ser finito para $n>3$ (lo cual es cierto para relativamente primos $x,y,z$ y muy difícil de probar [Faltings]).

Más generalmente, este tipo de análisis sugiere que para $m \geq 3$ la ecuación $x_1^n + x_2^n + \cdots + x_{m-1}^n = x_m^n$ debe tener un montón de soluciones para $n<m$, infinitamente, pero sólo de forma logarítmica muchos para $n=m$, y un número finito de $n>m$. En particular, la conjetura de Euler que no hay soluciones para $m=$ n de forma heurística es falsa para todos los $m$. Hasta ahora se sabe que es falsa solo para $m=4$ y $m=5$.

La generalización en una dirección diferente sugiere que cualquier cúbicos plano de la curva de $C: P(x,y,z)=0$ debe tener un número infinito de puntos racionales. Esto se conoce para ser cierto para algunos $C$ y falsa para otros; y cuando cierto número de puntos de altura de hasta $M$ crece como $\log^{r/2} M$ para algún entero $r>0$ (el rango de la curva elíptica), que puede ser igual a $2$ como la heurística predice, pero no tiene que. El rango es el predicho por el célebre conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que en efecto refina la heurística de contabilidad para la distribución de los valores de $P(x,y,z)$ no sólo "en el lugar de arquímedes" (¿cómo es de grande?) pero también "finitas lugares" (es $P$ un múltiplo de $p^e$?).

El mismo refinamiento está disponible para las ecuaciones en variables más, como el de Euler, la generalización de la ecuación de Fermat; pero esto no cambia la conclusión (excepto para las ecuaciones, tales como $x_1^4 + 3 x_2^4 + 9 x_3^4 = 27 x_4^4$, que no tienen soluciones a todos por razones de congruencia), aunque en el caso límite de $m=$ n la potencia esperada de $\log M$ aumento.

Advertencia: hay más obstáculos que puedan impedir una superficie de tener puntos racionales, incluso cuando la heurística nos lleva a esperar abundantes soluciones y no hay congruencia condiciones que contradice esta suposición. Un ejemplo es el Cassels-Chico cúbicos $5x^3 + 9y^3 + 10z^3 + 12w^3 = 0$, sin distinto de cero soluciones racionales $(x,y,z,w)$:

Cassels, J. W. S, y Guy, M. J. T.: En el principio de Hasse para cúbicos superficies, Mathematika 13 (1966), 111--120.

Answer 3

Creo que este ejemplo se adapta, en 1985 H. Maier desmentido una muy razonable conjetura sobre la distribución de los números primos en intervalos cortos de tiempo. El enfoque probabilístico había sido examinado a fondo por Harald Cramer. Buen papel de Andrew Granville incluyendo este episodio en (matemática) detalle, en la página 23 (13 de 18 en el pdf):

www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/cramer.pdf

Answer 4

CS de la teoría tiene una gran cantidad de estos ejemplos. En particular, cualquier problema que se sabe que es de $RP$, pero su membresía en $P$ es (actualmente) desconocido.

Ejemplo: es posible, el uso de los paseos que consiste exponencialmente muchos pasos, para estimar el volumen de un cuerpo convexo?

En la terminología de su pregunta, la respuesta es " sí " si usted dice que al azar pasos razonables modelo de los pasos realizados por un algoritmo inteligente. Por otro lado, un método determinista de la elección de los pasos es desconocido.

(PS la referencia en este problema en particular es "aleatorio polinomio de tiempo de algoritmo para aproximar el volumen de cuerpos convexos" por Dyer, Friso, Kannan.)

Answer 5

El Alon-Tarsi Conjetura afirma que el número de latinos plazas no es igual al número impar de cuadrados latinos, incluso para $n$. Aunque, se puede demostrar que el mcd de estos dos números crece super-exponencialmente con $n$ (es decir, estos dos números tienen en común muchos divisores). Además, parece que están asintótica (usando una heurística argumento).