¿Cuál es la condición que permite a un triángulo a ser encerrada entre dos homothetic hexágonos?

Question

Supongamos, como en la figura, que tengo un (a) hexágono $DEFIHG$. A continuación, voy a construir el hexágono $KLMNOP$, que es homothetic de la relación de $\alpha$ de la primera ($\alpha$ es un parámetro). Es decir, el hexágono exterior no es más que el interior de la "reducida" por un factor de $\alpha$.

La observación de que cada hexágono tiene tres parejas de lados paralelos, como se sugiere en la figura. Es una suposición.

Estoy buscando un criterio como $\alpha \geq ...$ para el cual existe un triángulo encerrado entre las dos hexágonos, como el triángulo verde. Por esto, quiero decir, un triángulo cuyos vértices están en el interior del hexágono exterior y los bordes no se cruzan en el interior del hexágono.

Yo también estaría interesado por las condiciones que llevan dos triángulos diferentes

Gracias

Answer 1

Dicen que usted tiene un hexágono $ABCDEF$ (como en el diagrama a continuación) y se desea construir un hexágono homothetic, que contiene triángulo $HIJ$, que se obtiene mediante la producción de lados $BC$, $DE$, $FA$.

El más pequeño de estos hexágonos se tienen tres lados que pasa a través de $H$, $I$, $J$ y en paralelo a $EF$, $CD$, $AB$ respectivamente, a mentir, a continuación, sobre el triángulo $NOP$ en el diagrama de abajo. Pero triángulo $NOP$ es homothetic al triángulo $KLM$, obtenido por la producción de los lados $AB$, $CD$, $EF$ original de la hexagonal. El centro de homothety es $Q$, la intersección de las líneas de $KN$, $LO$ e $MP$ y el homothety relación es $$ \alpha={QN\sobre QK}={QO\sobre QL}={QP\sobre QM}. $$

Este homothety lleva hexágono $ABCDEF$ a la solicitud de un mínimo de hexágono.