Mostrar $\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi$ utilizando el Teorema de Pitágoras

Question

La forma "tradicional" en que siempre veo calculada esta integral es con la identidad

$$\cos^2t=\frac{1+\cos(2t)}{2}$$

Mi método alternativo utiliza $\cos^2t+\sin^2t=1$ . Es obvio que

$$\int_0^{2\pi}\cos^2t+\sin^2t\,dt=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$$

El intervalo de integración es un múltiplo entero de los períodos de cada función ( $\cos^2t$ tiene un periodo de $\pi$ ), por lo que me parece razonable que dada la identidad pitagórica utilizada anteriormente, $\cos^2t$ y $\sin^2t$ contribuyen, a falta de una palabra mejor, igualmente a esta respuesta final de $2\pi$ arriba, por lo que la integral en el título debería ser la mitad de $2\pi$ o simplemente $\pi$ .

¿Es válido este método? ¿Qué afirmaciones adicionales, si las hay, son necesarias para que sea lo suficientemente riguroso como para ser válido?

Answer 1

Su argumento es definitivamente válido. Para añadir más explicaciones, podemos decir que $$ \int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x) dx $$ para cualquier $T$ -función periódica $f(x)$ (intente probar esto rigurosamente), y luego $$ \int_{0}^{2\pi} \sin^{2} t dt = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \,dt = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{2\pi - \frac{\pi}{2}} \cos^{2}t\,dt = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}t\,dt $$

Answer 2

Utilice $\displaystyle\int_0^{2a}f(x)\ dx=2\int_0^af(x) \ dx$ para $f(2a-x)=f(x)$

dos veces para encontrar $$I=\int_0^{2\pi}\cos^2t\ dt=4\int_0^{\pi/2}\cos^2t\ dt$$

Ahora $\displaystyle\int_a^bf(x) \ dx=\int_a^bf(a+b-x) \ dx$

para encontrar $$2\cdot\dfrac I4=\int_0^{\pi/2}(\cos^2t+\sin^2t)dt$$