Cómo simplificar $\frac{1+\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + \cdots}{1 - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \cdots}$

Question

Deje $p$ es el número real que satisface$\quad p > 1$

¿Cómo puedo simplificar la fracción $$\frac{1+\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + \cdots}{1 - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \cdots}$$

Numerador es $\zeta(p)$ , pero no sé la forma cerrada del denominador.

¿Hay alguna idea para simplificar esta fracción?

Answer 1

Sugerencia. Tenemos $p>1$. El uso de la convergencia absoluta de la serie, que se puede considerar $$ \left(1+\frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + \cdots\right)-2\left(\frac{1}{2^p} + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{6^p} + \cdots\right)=1 - \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} - \frac{1}{4^p} + \cdots $$A continuación, se puede escribir $$ \frac{1}{2^p} + \frac{1}{4^p} + \frac{1}{6^p} + \cdots=\frac1{2^p}\left(1+ \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots\right)=\frac1{2^p}\cdot \zeta(p). $$ Esperamos que usted puede tomar desde aquí.

Answer 2

Es posible que desee probar

\begin{align*} \frac{1+\frac1{2^p}+\frac1{3^p}+\frac1{4^p}+\cdots}{1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots}&=\frac{1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots}{1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots}+2\cdot\frac{\frac1{2^p}+\frac1{4^p}+\frac1{6^p}\cdots}{1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots}\\ &=1+2\cdot\frac{\frac1{2^p}+\frac1{4^p}+\frac1{6^p}\cdots}{1-\frac1{2^p}+\frac1{3^p}-\frac1{4^p}+\cdots}\\ &=\ldots \end{align*}