(Vamos interesante enteros positivos existen, entonces no debe ser menor interesante número. Pero eso sería una muy interesante serie que es una contradicción!)
Este argumento tiene dos problemas, uno de los cuales es matemático y uno de los cuales es lingüística. El problema lingüístico proviene de la ambigüedad en la palabra "interesante". Es una variante de la paradoja de Sorites, que puede ser formulada de la siguiente manera:
Supongamos que los montones de arena que existen. Entonces no debe ser más pequeño montón de arena. Pero si puedo quitar un grano de arena de un montón, luego no deja de ser un montón; contradicción!
El problema matemático se mantiene incluso después de intentar formalizar la definición de "interesante". Una posible formalización es la siguiente:
Definición: Un número es interesante si se tiene una breve descripción; más formalmente, si es de baja complejidad de Kolmogorov en relación a su tamaño, lo que significa que puede ser impresa por un corto programa de ordenador.
Como un simple ejemplo, $2^{1000}$ es interesante porque puede ser impresa por un muy corto programa de ordenador (de hecho, sólo un bucle for) en relación a su tamaño (1001 dígitos binarios). Por supuesto, yo no he dicho que lo "corto" significa, pero todo lo que voy a decir va a través de los distintos valores de la palabra "corto"; por ejemplo, "corto" podría significar un programa de menos de una décima parte tan larga como el número de dígitos binarios.
Con esta definición en realidad, es bastante claro que la mayoría de los números son interesantes, ya que la mayoría de los números no pueden tener descripciones cortas; esto es una simple recuento de argumento. Intuitivamente, la razón por la que la mayoría de los números son poco interesante es que la mayoría de los números de ruido: se comportan como si fueran aleatorios cadenas de dígitos (de"alta complejidad de Kolmogorov" pasa a ser una excelente definición de lo que significa para una determinada cadena ser "al azar"), y no tienen ninguna humanos-comprensible la estructura.
Ahora el argumento original se convierte en una variante de la paradoja de Berry, que puede ser formulada de la siguiente manera:
Supongamos que hay un menor entero positivo definible en menos de once palabras. Luego de que un número entero positivo es "el más pequeño entero positivo definible en menos de once palabras," que es una definición que incluye diez palabras; contradicción!
Es bueno para pasar algún tiempo pensando en cómo resolver esta paradoja, así que déjame darte un poco de espacio para hacer que antes de decirle a usted cuál es la respuesta.
La resolución de la paradoja es que se trata de una prueba por contradicción: lo que demuestra, más o menos, es que un lenguaje formal para escribir las descripciones de los enteros positivos no pueden ser lo suficientemente potente como para escribir la auto-referencial declaraciones que cuantificar a través de su propia descripción de los enteros positivos.
En otras palabras, el problema con "el menor entero positivo definible en menos de once palabras" como una definición es que la palabra "definible" es ambigua: una vez que desambiguar, necesariamente se refiere a una noción de definición que no, y de hecho, no puede, incluir "el menor entero positivo definible en menos de once palabras."
