Si $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2} = 5$, entonces, ¿qué es $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$?

Question

Sé que la respuesta a la pregunta de arriba, pero tengo una pregunta sobre algunos de los razonamientos.

La forma que yo sé cómo resolver es $$\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0}\left(f(x)\cdot \frac{x^2}{x^2}\right) = \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{x^2}\cdot x^2\right) = \left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2}\right)\left(\lim_{x \rightarrow 0}x^2\right) = 5\cdot0 = 0.$$

Vi otra solución en otra parte que obtiene la respuesta correcta, pero no estoy seguro de si los pasos son realmente correctas. \begin{align*} &\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2} = 5 \\ \Longrightarrow &\frac{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)}{\lim_{x \rightarrow 0}x^2} = 5 \\ \Longrightarrow &\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 5\cdot \lim_{x \rightarrow 0}x^2\\ \Longrightarrow &\lim_{x \rightarrow 0}f(x) = 5\cdot 0 = 0. \end{align*}

Mi problema es con el primer paso. Sé que $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}$, pero sólo cuando se $\lim_{x \rightarrow a}g(x) \neq 0$. Desde $\lim_{x \rightarrow 0}x^2 = 0$, ¿no invalida el anterior trabajo? Sin embargo, todavía tengo la misma respuesta, así que mi pregunta real es ¿por qué es trabajo y cuando va al trabajo en general?

EDIT: ¿alguien tiene un buen ejemplo para cuando la lógica en el segundo método no funciona?

Answer 1

$$\frac{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)}{\lim_{x \rightarrow 0}x^2} = 5$$ no funciona, el LHS no está definido.

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Pero para el límite de $\dfrac{f(x)}{x^2}$ a existir, $\lim_{x\to0}f(x)$ debe ser cero, que es también el límite de $x^2$.

Answer 2

Si $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=5$, entonces para cada a$n\in\Bbb N$ hay algo de $x\neq 0$ tales que $$5-\frac1n<\frac{f(x)}{x^2}<5+\frac1n$$ y por lo tanto $$5x^2-\frac{x^2}n<f(x)<5x^2+\frac{x^2}n$$ Si $x\to 0$ obtenemos $f(x)\to 0$.

Answer 3

Usted no puede hacer esto ya que el denominador de la derecha es $0$.

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x^2} = \frac{\lim_{x \rightarrow 0}f(x)}{\lim_{x \rightarrow 0}x^2}$$

Pero primero, el enfoque es perfecto.