¿Por qué es una solución a $y'' + y = 0$ periódico

Question

Soluciones a $y'' + y = 0$ 2$\pi$ periódico. Es este accidentales o no esta ODA tiene algunas simetrías asociadas con lo que la fuerza de las soluciones periódicas?

Answer 1

El polinomio característico es $$\lambda ^2+1=0, \lambda = \pm i$$ which implies the solutions are $$y=c_1 \cos(t)+c_2 \sin(t)$$

Por lo tanto las soluciones son periódicas con período de $2\pi$

También puede comprobar el plano fase del sistema $$ y'=u,u'=-y$$ which implies $$y^2+u^2=C$$ por lo tanto las soluciones son periódicas.

Answer 2

Así, la ecuación de $y'' + y = 0$ conserva la cantidad de $y'^2/2+y^2/2$, por lo que las trayectorias se limita a este círculo en el espacio de fase. Por otra parte, la ecuación es autónoma y tiene soluciones únicas, por lo que el sistema no puede bamboleo de ida y vuelta alrededor del círculo; sólo puede espiral a su alrededor. Esto es casi suficiente para demostrar que cualquier solución debe ser periódica; creo que sólo queda demostrar que el sistema sigue avanzando a un ritmo que está acotado abajo por un número positivo, en lugar de acercarse a un estado estacionario.

(Respuesta basada en un comentario de Ian.)