Invariancia de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell en la materia

Question

Sé que las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son invariantes de Lorentz en el vacío. Pero, ¿y en un medio generalizado, por ejemplo, un metal, una goma, un dieléctrico, un imán? He leído que se reduce a si las polarizaciones eléctrica y magnética, $M$ y $P$ son a su vez invariantes de Lorentz. (Mi opinión es que deben serlo, aunque algunos investigadores utilicen aproximaciones que no lo son. Así que, ¿alguien puede responder a mi pregunta?

¿Son invariantes de Lorentz las ecuaciones de Maxwell en un medio?

Answer 1

Maxwell no es invariante de Lorentz en la materia porque la materia selecciona un marco de referencia preferido: aquel en el que el trozo de materia está en reposo.

Por supuesto puedes hacer que todo parezca covariante de Lorentz incluyendo la velocidad local cuatro $u^\mu$ de la pieza de materia en las ecuaciones para la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética, y definiendo $$ E_\mu = F_{\mu\nu}u^{\nu}, \quad B_\mu = \frac 12 \epsilon_{\mu\nu\sigma\tau} u^\nu F^{\sigma\tau}. $$ ser el ${\bf E}$ y ${\bf B}$ campos en el marco moviéndose con la materia - pero ese extra $u^\mu$ hace que todo sea bastante complicado. Es mejor evitar todo esto a menos que realmente quieras hacer mecánica relativista de fluidos/continuum como investigar el campo magnético de una estrella de neutrones o el disco de acreción de un agujero negro.

Answer 2

¿Son invariantes de Lorentz las ecuaciones de Maxwell en un medio?

No, no lo son. Una onda electromagnética puede tener una velocidad $v<c$ en un medio. Esto significa que se puede elegir un marco en el que la velocidad de la onda sea cero. Una onda de velocidad cero es una solución en ese marco, pero no en el marco de reposo del medio. Por lo tanto, las ecuaciones no son invariantes de forma bajo un impulso de Lorentz.

Answer 3

El aspecto de las ecuaciones de Maxwell que deja de ser "totalmente covariante" en presencia de materia son las relaciones constitutivas. Específicamente, si escribes las ecuaciones de Maxwell en presencia de materia, \begin{align*} \nabla \cdot \vec{D} &= \rho_f & \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 & \nabla \times \vec{H} &= \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{align*} es necesario complementarlos con un conjunto de relaciones entre los campos auxiliares $\vec{D}$ & $\vec{H}$ y los campos "reales $\vec{E}$ y $\vec{B}$ . Por ejemplo, solemos suponer que $\vec{D} = \epsilon \vec{E}$ y $\vec{H} = \frac{1}{\mu} \vec{B}$ A partir de esto, podemos demostrar que las ondas electromagnéticas viajarán a través del material a la misma velocidad $v = c/\sqrt{\epsilon \mu}$ en todas las direcciones; todos los campos obedecen a la ecuación de ondas con una velocidad característica $v$ .

Pero estas relaciones de apariencia simple ( $\vec{D} \propto \vec{E}$ , $\vec{H}\propto \vec{B}$ ) son una afirmación dependiente del marco de referencia, y no se mantendrán necesariamente en otro marco de referencia en el que el medio se esté moviendo. Por ejemplo, supongamos que el nuevo sistema de referencia "preparado" se mueve en el sentido positivo $x$ -con respecto a nuestro marco original. Los campos en los dos marcos de referencia están relacionados entre sí por (por ejemplo) \begin{align*} E_y &= \gamma (E'_y + v B'_z) & D'_y &= \gamma(D_y - v H_z) & B_z &= \gamma (B'_z + v E'_y) \end{align*} (nótese que la transformación entre $\vec{D}$ y $\vec{H}$ es la misma que la transformación entre $\vec{E}$ y $\vec{B}$ .) Entonces tenemos \begin{align*} D'_y &= \gamma(D_y - vH_z) \\ &= \gamma \left(\epsilon E_y - v \frac{1}{\mu} B_z \right) \\ &= \gamma \left[\epsilon \gamma (E'_y + v B'_z) - v \frac{1}{\mu} \gamma (B'_z + v E'_y) \right] \\ &= \gamma^2 \left(\epsilon - \frac{v^2}{\mu}\right) E'_y + \gamma v \left( \epsilon - \frac{1}{\mu} \right) B'_z \neq \epsilon E'_y. \end{align*}

Así, aunque $\vec{D}$ es proporcional a $\vec{E}$ en el marco de reposo de la materia, esto no implica que $\vec{D}'$ será proporcional a $\vec{E}'$ en un marco sin descanso. 1 En cambio, las relaciones constitutivas son más complicadas en este marco; $\vec{D}$ dependerá tanto de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ al igual que $\vec{H}$ .

En principio, podríamos seguir utilizando las ecuaciones de Maxwell y estas nuevas relaciones constitutivas para escribir una ecuación diferencial de segundo orden para $\vec{E}$ o $\vec{B}$ solo. Pero lo que encontraremos es una ecuación ondulatoria en la que la velocidad de propagación de la onda difiere en las distintas direcciones. Y si tomamos un vector de velocidad de propagación válido en el marco de reposo y lo transformamos en nuestro nuevo marco, se alineará exactamente con una velocidad de propagación válida de la luz según nuestra nueva ecuación ondulatoria.

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1 A menos que $\epsilon = 1/\mu$ pero entonces estamos hablando de un medio en el que todas las ondas viajan a la velocidad de la luz de todos modos.

Answer 4

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son covariantes de Lorentz, no invariantes. En un medio en movimiento también son covariantes, pero como has dicho, la mayoría de las veces no se escriben de forma covariante. Cualquier sistema físico es covariante de Lorentz, de lo contrario fallaría la relatividad especial.

Answer 5

Me voy a meter con tu elección de palabras.

El eje o ejes ópticos de un cristal sólo son Lorentz invarant si la dirección del impulso es paralela, antiparalela o perpendicular al eje o ejes ópticos. (De hecho, la birrefringencia fue el primer fenómeno que me vino a la mente al leer tu pregunta).